法线和切线的关系 已知一点和斜率求直线方程

近年来，学生们对高考数学的挑战感到无比压力，而与之相比，大学数学的复杂性显得更加深邃。虽然高考中的数学题目常常被批评为难度过大，但实际上与大学的高等数学相比，这些题目几乎都显得简单。为了让大家感受到大学数学的奥妙，以下将介绍一道经典的高等数学题，涉及抛物线及其法线截取的最短线段问题。

题目是这样的：在抛物线

y²=2px

上，求哪一点的法线被抛物线所截的线段最短。乍看之下，这道题目似乎简单明了，但别被其表象所迷惑，表面看似简单的高数题往往蕴藏着不小的复杂性。

为了找到答案，可以运用逆向思维，探索解题的思路。这道题不适合使用几何法，更有效的方式是代数法。通过直接使用两点间的距离公式，建立与某个交点的横坐标或纵坐标的函数关系，然后利用这个函数的导数来分析其单调性，从而找到原函数的最值，这样就能最终求得最短的距离。

要解决这个问题，需要找出两个交点的坐标，而这些坐标中至少需要包含一个未知数。可以通过求解过这两点的直线与抛物线的交点来得到。过这两点的直线，实际上就是抛物线在某一点的法线，同时也包括与这条法线相互垂直的切线的切点。这道题的实质就是要找到这个切点。

接下来，需要假设切点的坐标，并结合对抛物线的求导来得出切线的斜率，从而形成切线的方程。然后，将先前逆向思考的过程反转，转变为正向逻辑推理。

有了切线方程，就可以列出切线与抛物线的交点方程，从而求解出两个交点的坐标。随后，利用两点的距离公式，得出距离关于切点坐标的一个函数。通过求导确定距离函数的变化趋势，从而得到最小值，并由此得到切点的坐标。

这一切看似系统，但在实际解题过程中，往往会遇到不少难题。以下便是具体的解法步骤：

解：由抛物线方程两边同时求导，得出 2yy’=2p，因此 y’=p/y。

【这里对抛物线进行求导是解题的关键步骤，化为 y' = √(p/(2x)) 可能会使后续运算更为复杂。】

设抛物线上一点 (a, b)，则通过此点的法线方程为：y-b=-b(x-a)/p，代入 x=y²/(2p)，得：

y-b=-b(y²/(2p)-a)/p，即 y² + 2p²y/b - (2p² + 2pa) = 0，

【该方程的不同形式中，这种形式运算较为便利。】

(y1-y2)²=4p⁴/b² + 8p² + 4pa=2p³/a + 8p² + 8pa，

(x1-x2)²=(y1²-y2²)²/(4p²)=p⁴/a² + 4p³/a + 4p²，

【这是将两点的距离公式分解，以避免式子过于复杂。】

记法线被抛物线截取的线段长度的平方为D，则

【由于距离的平方最小，距离自然也随之最小。】

D(a) = 2p³/a + 8p² + 8pa + p⁴/a² + 4p³/a + 4p² = (8pa³ + 12p²a² + 6p³a + p⁴)/a²，

当 D’=2p(4a³ - 3p²a - p³)/a³，即 2p(a-p)(2a+p)²=0 时，

【因式分解的过程也是一大难点。】

最终解得：a=p或a=-p/2（舍去），

【因为 a 不可能与 p 异号。虽然题目并未说明 p>0，但默认 p 大于0。】

当 a

p 时，D’>0，

a=p 是 D(a) 唯一的极小值点，故 D(p) 最小。

【连续函数的唯一极值点意味着此点即为最值点。】

抛物线在 (p，±√(2p)) 的法线所截线段长度最短。

如果 p

0 的情况下，y²=-2px，由于函数的对称性，得出的结论仍然相同。

通过以上分析，虽然现在看答案似乎不再困难，但解题过程中，老黄为找到解决方案尝试了多少次错误与挫折，确实不为人知。对于每一个数学难题，背后都隐藏着不为人知的努力与坚持。