正比例函数 一次函数知识点整理图

一、定义与定义式：

自变量x与因变量y之间存在一种特定关系，具体表现为：

y随x的变化而按一定规律变化，这个规律可以用数学表达式y=kx+b来描述。

当b的值为0时，y与x之间形成正比例关系，其表达式简化为y=kx，其中k为常数且k≠0。

二、一次函数的特性：

1. y值的变化与x值的变化保持正比关系，这个比例即为k的值。

2. 当x的值为0时，b代表函数图像在y轴上的交点，即截距。

三、一次函数的图像及特性解析：

1. 作法与图形：通过以下三个步骤可以绘制出一次函数的图像——一条直线。

（1）列出函数值；

（2）在坐标系中标记出相应的点；

（3）将所标记的点用直线连接起来。

通常，我们寻找函数图像与x轴和y轴的交点来确立这条直线。

2. 特性：一次函数图像上的任何一点P（x，y）都满足y=kx+b的等式。

一次函数与y轴的交点坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k，0）点。

特别地，正比例函数的图像必定经过原点O（0，0）。

3. k与b与函数图像所在象限的关系：

当k的值大于0时，这条直线必然会经过第一、三象限，且y随x的增大而增大；

当k的值小于0时，直线穿过第二、四象限，y随x的增大而减小。

当b的值大于0时，直线穿过第一、二象限；当b=0时，直线经过原点；当b小于0时，直线穿过第三、四象限。

四、确定一次函数的表达式方法：

已知点A（x1，y1）和B（x2，y2），我们可以通过以下步骤求出过这两点的一次函数表达式：

（1）设立一次函数的表达式为y=kx+b。

（2）因为函数上的每一点都满足y=kx+b的等式，所以我们可以通过两点坐标列出两个方程。

（3）解这个二元一次方程组得到k和b的值。

（4）最终得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用场景：

1. 当时间t一定时，距离s是速度v的一次函数表达，即s=vt。

2. 对于一定抽水速度f的水池，水池中的水量g与抽水时间t的关系为一次函数，设原有水量为S，则g=S-ft。

六、常用公式汇总：

1. 求函数图像的斜率k值：（y1-y2)/(x1-x2)。

2. 求与x轴平行线段的中点坐标：（x1+x2）/2。

3. 求与y轴平行线段的中点坐标：（y1+y2）/2。

4. 求任意线段的长：使用勾股定理，即√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）。