切平面方程 平面到点的距离

微分几何的发展中，一个标志性的进步便是“高斯绝妙定理”的提出。高斯曲率这一概念，原是通过曲面的第二基本形式来定义的，但后来被发现能够完全由第一基本形式来决定，它是一种内蕴的几何量。现代微分几何专注于探索几何的内蕴性质，而古典微分几何则更偏向于从宏观角度来审视几何对象。

在空间中，曲面的弯曲性质可通过其第二基本形式来刻画。设C²类曲面S的方程为r = r(u，v)，若P(u，v)为曲面上的一点，其切平面为π。考虑过P点的曲线C，其方程为r = r[u(s)，v(s)]，而与P点临近的P'点的向径则为r(s+Δs)。

对于曲面在P点的单位法向量n，我们可以作出P'处切平面的垂线，其足点记作Q。根据先前曲线论的理论，我们可以进一步研究曲面的曲率。前面文章《曲率和挠率，空间曲线论的基本公式》中提到了曲线的基本公式。

定义1（法截面）：给定曲面S上的一点P及其P点处的方向(d)=du:dv，以曲面在P点的法方向n与(d)所确定的平面作为曲面在P点沿方向(d)的法截面。此法截面与曲面S的交线即为曲面在P点沿该方向的法截线。

由于曲面上过一点P可作无数条法截线，因此需研究这些法截线的法曲率之间的关系。在P点的切平面上建立坐标系，以P点为原点，并以S的坐标曲线的切向量为基向量。

接下来我们将推导相关轨迹的方程。Dupin指标线可分为四类：椭圆点、双曲点、抛物点以及平点。各类情况的具体判定标准为：当LN-M^2的值大于、小于或等于零，以及L、M、N都为零时，分别对应不同的类别。

定义4（渐进方向）：当曲面上的点是双曲点时，渐近线的方向即为该点处的渐进方向。若曲面上的曲线在每一点的切方向都是渐进方向，那么这条曲线就是渐进曲线。

定义5（共轭方向）：若包含两个方向的直线是P点的Dupin指标线的共轭直径，则这两个方向是曲面的共轭方向。

定义6（主方向）：曲面上一点P的两个方向，若既正交又共轭，则被视为该点处的主方向。

定理1（主方向的判别定理）：若方向(d)为主方向，则有nd=λrd；反之，若方向(d)满足nd=λrd，则该方向为主方向。

其中λ为法曲率的相反数。

定义7（主曲率）：曲面上一点处主方向上的法曲率即为该点的主曲率。

定理2：曲面上一点的主曲率是该点所有方向法曲率中的最大值和最小值。