secx的原函数 secx的原函数推导过程

黄老师在高数探索的旅程中，遭遇了一个不小的挑战。那就是他自己推导的正弦或余弦正整数幂公式与教材给出的递推公式，初看起来并没有明显的联系。他怀揣着一份谨慎与期待的心情，将教材的递推公式逐步推导成最终的形式，并成功证明了其与黄老师自己的推导公式是相吻合的。这一过程在《老黄学高数》系列视频的第267讲中有着详尽的记录。

此次经历也为黄老师带来了一丝启发。教材中不仅有正割或余割的递推公式，他思考是否可以将这些公式的最终形式也推导出来。这样的探索不仅能够强化他对于求积分方法的熟练度，同时得出的公式也可以在将来的学习中直接应用，实现一举两得的效果。这种方法论不仅适用于高数，同样也适用于基础数学和其他学科。

于是，黄老师开始了他的推导之旅。他首先选择了正割正整数幂积分的公式作为起点，探索其推导过程包含两个步骤：第一步是理解并掌握教材的递推公式；第二步则是在此基础上推导出最终的公式。

探究一：求In=∫(secx)^ndx (n>2)的积分

详细的推导过程由于文字描述的局限性，黄老师选择了用图表来展现，使观众能更直观地理解。若有不解之处，欢迎留言询问。

正割的公式需要分情况讨论，当n为奇数或偶数时，公式形式虽然相似，却有细微差别。尤其是在代入具体的指数n后，两个公式的差异就更加明显了。

特别地，当n取值为1或2时，公式呈现出特殊的形态，它们是各自类别中的特例。

例题展示

黄老师通过两个例题来展示公式的应用：例一是求正割五次方的不定积分；例二是求正割六次方的不定积分。这两个例题的答案黄老师都已经过仔细检验。

余割的探索

接着黄老师转向了余割的正整数幂积分公式的探索。他利用已知公式sec(x+π/2)=-cscx将问题转化为正割的问题。虽然中间步骤较为繁琐，但核心思路较为基础，观众可自行尝试完成。

探究二：求∫(cscx)^ndx (n>2)的积分

与正割的公式相比，余割的公式在符号上相反，且secx与cscx、tanx与cotx的替换下呈现出了差异。但其他部分的结构却是十分相似的。

更多的例题

黄老师继续给出了余割的四次方和三次方的不定积分的例题。若你觉得指数太小不足以说明问题，不妨自己尝试更大的指数，检验公式的正确性。

科技辅助

最后黄老师提到，虽然这些公式看似需要记忆，但实际上可以存储在计算机中。如果有需要，程序员可以编写程序，只需输入参数，无论指数多大，计算机都能直接给出正割或余割任意正整数次幂的积分结果。