基本微分公式 判断可微分的公式

网友与老黄的数学探秘之旅

有位网友对老黄说，希望他能帮忙解答一道T8联考的高等数学难题。老黄深知自己已有知识储备能够应对此题，但他却发现了一道非比寻常的解法。该解法涉及到了一些尚未深入研究、未接触过的领域，包括那些平日只在江湖传说中闻到的技术。这一技术重点就在于那尚未为老黄所攻破的一道微分方程。

老黄有个独特的个性，那就是无论问题有多难，他总想尝试去解决。这是他作为“”却能掌握高深知识的秘诀。尽管在微分方程的领域毫无基础，老黄还是决定尝试推导一个复杂的微分方程公式，展示给众人看，如何以的姿态去探究数学问题。

在整理完网友的问题全貌后，老黄准备将这个问题分享给大家。问题的大致内容是：已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为实数集R。

第一部分问题：

若f’(x)减去f(x)等于x，求f(x)。答案为：f(x)=Ce^x-x-1，其中C为常数。

在微分方程的领域中，老黄了解到，Ce^x被称为特解，而f(x)=Ce^x-x-1则是通解。虽然老黄一直想深入学习微分方程，但生活的压力让他无法将此作为主要研究方向。如果老黄有说错的地方，还请各位大侠指正。毕竟老黄即使梦中也未曾见过这方面的内容，出现错误也是情理之中的事。

第二部分问题：

若f’(x)减去f(x)等于一个n次n+1项式∑(i=0->n)aix^i，其推导则更为复杂。老黄从一些特殊情况开始着手，逐步探索规律。

特殊情况示例：

当i=0时， f(x)=Ce^x-a0；

在探索过程中，老黄发现了一个规律：除了第一项是Ce^x外，其余项构成了一个x的n次n+1项式。这个式子的系数有着特定的排列规律。尽管寻找这个规律的过程十分烧脑，但老黄还是耐心地找到了它。

后续推导（以i=n为例）：

当i=n时， f(x)=Ce^x-∑(i=0->n)(∑(j=i->n)j!aj/i!)x^i。

尽管看到这样的公式可能会让人感到头晕，但老黄已经习惯了这种“晕乎乎”的感觉。利用这样的公式解题确实颇为费脑，但这也是数学探究的乐趣所在。

例题解析：

题目：若y’-y=3x^3-x^2+2，求y。

答案：y的解为Ce^x-∑(i=0->3)(∑(j=i->3)j!aj/i!)x^i，并通过一系列计算验证了解的正确性。