自然对数e ex与lnx互化公式

重要提示：以下所有的数学不等式在解题时都必须提供严格的证明过程，不能简单写明“由图得”、“易证”等模糊的结论。

一、关于与函数y=ex切线紧密相连的常见不等式：

不等式ex≥x+1，其实可以转换为ex-1≥x的形式。这一对不等式虽然形式上有所不同，但从几何角度来看，它们代表了在特定点的切线关系。

将ex≥x+1稍作调整，得到e逆x≥逆x+1。进而推导出当x大于1时，ex的数值大于1除以(逆x+1)；而当x小于1时，ex的值则小于或等于1除以(逆x+1)。其几何关系如下所绘。

切线放缩的核心在于局部近似。在x接近0的区域，我们可以发现上述图形的切线放缩效果明显优于直线。

考虑将ex≥ex中的x替换为x/e，并对两边同时进行e的幂运算，可得到ex≥xe。面对这样的不等式，你是否能想到通过换元法将其与ex和x的关系联系起来呢？

不难发现这样的近似效果十分出色。依据上述思路，我们可以继续探索函数y=x³/6+x²/2+x+1的图像关系。

不断的近似与拟合最终将引向大学阶段会学习到的一种知识——泰勒展开式。它可以将指数函数用多项式函数来逼近，这无疑是一种令人欣喜的数学发现，因此简称为“泰勒”。

虽然无需死记这些复杂的知识点，但如果出现需要求证的不等式，比如要证明ex≥x³/6+x²/2+x+1时，你或许需要进行二次甚至三次求导的操作。虽然一般不会真的进行三次求导，但二次求导仍是常见的解题手段。

二、对于对数函数y=lnx而言，同样存在一些类似的结论：

lnx的值总是小于或等于x-1，同时也小于或等于x/e。

由于y=ex与y=lnx是互为反函数的关系，这两个关于lnx的不等式与y=ex的不等式在本质上是一致的。其几何关系如所绘图形所示。通过将lnx的不等式转化为指数形式，我们可以得到前面提到的ex≥xe这一结论。面对ex≥xe的不等式，你是否会想到通过取对数的方式构造出对数式呢？

将lnx≤x-1稍作调整为ln(1/x)≤1/x-1后，可以得到lnx≥1-1/x的结论。

在高考数学题中，下列不等式也是经常出现的考察点：

如ln(1+x)≤x的图像关系；

再如ln(x+1)与-x²/2+x之间的关系；

还有关于x与sinx的比较（当x为非负数时）；