二项式展开 C__计算公式

关于二项式定理的补充阐释，我们借助组合的基本原理来探讨。

本篇备课指南希望同学们能重新审视排列组合的基本概念。排列组合是理解二项式定理的重要基石。

接下来，我们将详细讨论三项式的展开模式，并具体分析其系数规律。请看以下示例：

对于表达式 (a+b)³ 的展开式为：

(a+b) × (a+b) × (a+b)

展开后得：aaa(aab+aba+baa) + (abb+bab+bba) + bbb

化简得：a³ + 3a²b + 3ab² + b³

在计算过程中，我们通过选择三个括号中的a或b来进行乘法。需要留意以下几点:

(1) 当三个括号中都不取b时，a的系数为 C₃⁰。

(2) 当三个括号中有一个取b时，a²b的系数为 C¹₃ 种。

(3) 当两个括号取b时，ab²的系数为 C₃² 种。

(4) 当三个括号都取b时，b的系数为 C₃³ 种。

值得注意的是，二项式中ab的系数总是为1，这表明组合数即为系数。二项式的三次展开及更高次幂的展开都遵循一定的规律，包括各项的系数和次数。

对于 (a+b)³ 的展开，我们可以直接表示为:

C⁰₃ + C¹₃a²b + C²₃ab² + C³₃b³

类似地，(a+b)⁴ 也可按照此模式推导。

由此可推导出一般的二项式定理:

(a+b)ⁿ = C⁰n.aⁿ + C¹n.aⁿ-¹b + C²n.aⁿ-²b² + ... + Cᴷn.aⁿ-ᴷbᴷ + Cⁿ-¹abⁿ-¹ + Cⁿn.bⁿ

利用组合计算公式，我们还可以将其表示为:

(a+b)ⁿ = aⁿ + naⁿ-¹b + n(n-1)/2! aⁿ-²b² + ... + n(n-1)(n-2)...(n+K+1)/(K!) aⁿ-ᴷbᴷ + anbⁿ-¹ + bⁿ

使用求和符号 Σ 也可以表示为:

(a+b)ⁿ = Σ(从k=0到n)，其中 Σ 的头上标为 n，下标为 k，然后清晰写出 Cnᴷaⁿ-ᴷbᴷ。

这里的通项公式并不是指展开式中的第k项，而是第k+1项，以 Tⅴk+1 表示二项展开式中的第k+1项。因此:

TⅴK+1 = Cᴷn aⁿ-¹bᴷ

我们还可以得出 (a-b)ⁿ 的通项公式:

TⅼK+1 = (-1)ᴷ Cᴷn aⁿ-ᴷbᴷ

以上就是关于二项式定理的一些重要补充说明。由于个人水平及表示方式的限制，某些字符表达式可能在屏幕上有所失真。如有打字或推理上的错误，或有其他疑问，请以现行教材为准。本补充说明仅供同学们参考。

作业与要求：

1. 使用二项式定理展开：

(1) (a+5)⁶

(2) (1+x)¹⁰

2. 在课外资料上选择相关的习题进行练习。