两个向量正交 两个向量正交有什么结论

一、引言

平面向量作为数学领域的重要概念，在平面几何、物理等多个学科中发挥着广泛的作用。其中，平面向量的正交分解与坐标表示是理解向量性质和应用的关键环节。本文将详细解析“平面向量正交分解与坐标”这一知识点，帮助读者更好地掌握向量的相关概念和应用。

二、平面向量的正交分解

1. 正交分解的定义：在平面内，设→a为一个向量，→i和→j为互相垂直的单位向量，若→a可分解为两个分别沿→i和→j方向的分向量→a₁和→a₂，且→a₁与→a₂垂直，则这种分解称为→a的正交分解。

2. 正交分解的公式：若→a的坐标为(x，y)，→i的坐标为(1，0)，→j的坐标为(0，1)，则→a的正交分解可表示为→a=x×→i+y×→j。其中，x和y分别代表→a在x轴和y轴上的投影或坐标。

3. 正交分解的意义：正交分解是平面向量的一种重要表示方法，它将复杂的向量问题转化为简单的标量问题，从而降低问题解决的难度。正交分解也是建立向量坐标体系的基础。

三、平面向量的坐标表示

1. 坐标表示的定义：在平面直角坐标系中，任意一个向量都可以由一对实数来表示，这对实数即为该向量的坐标。具体地，若向量的起点为原点O，终点为点P(x，y)，则x和y分别代表该向量在x轴和y轴上的投影。

2. 坐标表示的运算规则：对于任意两个向量→a(x₁，y₁)和→b(x₂，y₂)，它们的加、减、数乘以及数量积等运算均可通过坐标来表示。如：→a+→b=(x₁+x₂，y₁+y₂)，→a-→b=(x₁-x₂，y₁-y₂)，λ×→a=(λ×x₁，λ×y₁) (λ为实数)，→a·→b=x₁×x₂+y₁×y₂。

3. 坐标表示的意义：坐标表示是平面向量的一种重要表示方式，它能直观地反映出向量的大小和方向。通过坐标表示可以方便地进行向量的各种运算，从而简化问题的求解过程。

四、典型例题分析

例1：已知向量→a=(2，1)，向量→b=(1，-2)，求它们的和、差、数量积以及夹角。解：根据坐标表示的运算规则，可求得→a+→b=(3，-1)，→a-→b=(1，3)，→a·→b=0。由于→a·→b=0，根据数量积的性质可知，向量→a与向量→b正交，即夹角为90°。

例2：已知向量→a=(4，3)，向量→b的模为5，且与x轴正方向的夹角为60°，求向量→a与向量→b的数量积和夹角。解：根据题意可得向量→b的坐标为(5×cos60°，5×sin60°)=(5/2，(5√3)/2)。然后计算它们的数量积和夹角余弦值，进而求得夹角值。

五、总结与展望