什么是实数和虚数 实数与虚数的关系

追溯虚数的发展轨迹，需回溯至与之相对的实数起源。实数，与虚数相辅相成，它包含了有理数和无理数，象征着现实世界中确切存在的数值。

“虚数”一词由17世纪的著名数学家和哲学家笛卡尔首创。当时的观念认为虚数是超越现实的存在。随着研究的深入，人们发现虚数可对应于平面上的纵轴，与实数一样，都是真实存在的数学概念。

人们逐渐认识到，即使利用全部的有理和无理数，也无法完全解决代数方程的求解问题。如x²+1=0这样的二次方程，在实数范围内找不到解。即使是12世纪的印度大数学家婆什伽罗也认为这个方程无解。他基于数的性质认为，正数的平方根为两重；负数没有平方根，因此不被视为平方数。这实际上是不承认方程中负数平方根的存在。

直到19世纪初，高斯引入了j作为符号，并提出了用数对（a、b）表示a+bj的复数形式，虚数才逐渐被广泛接受。

起初，人们对虚数的实际应用一无所知，常对其产生怀疑和误解。笛卡尔曾称虚数为虚假；莱布尼兹则将其比作神秘的神灵隐匿所。尽管欧拉在许多场合使用虚数，但他仍表示像√-1、√-2这样的数学表达式是想象中的数，因为它们表示的是负数的平方根。这些数既非存在也非不存在。

在欧拉之后，复数的概念得到了进一步发展。测量学家维塞尔提出将复数（a+bj）用平面上的点表示。高斯提出的复平面概念为复数的应用开辟了道路。如今，复数通常用于表示向量（有方向的量），在水利学、地图学、航空学等领域有着广泛的应用。

接下来，让我们了解欧拉公式。欧拉公式是复分析领域的重要公式，它关联了三角函数与复数指数函数。之所以称之为欧拉公式，是因为该公式是由莱昂哈德·欧拉提出的。

那么，虚数是否只在理论上存在呢？实际上，它在现实生活中有着广泛的应用。以电子工程为例，我们来看看虚数的实际应用。

在普通的电阻中，存在伏安关系。在电容元件中，同样存在伏安关系。电容的伏安关系中包含了一个虚数部分j。这个j代表了加载在电容元件两端的正弦波电压u的频率，而C则代表了电容的大小。

具体来说，当电流通过电容时，其相位会超前电压90度。这一现象正是由于电容的容抗中包含了虚数j的原因。

通过示波器实际观察电容的电流与电压的波形图可以明确地看到这一现象。

这表明虚数j在解决实际问题时发挥了重要作用。