洛必达法则求极限 洛必达求极限的例题

1. 计算极限：lim(n→∞) (17n² - 30) / (32n⁴ + 16n - 22)

解：观察所求极限的分子分母，发现当n趋近于无穷大时，分母的次数高于分子，因此极限值为0。为验证这一点，可对表达式进行分母为n⁴的约简。

使用分母、分子同除n⁴的方法，得：

lim(n→∞) (17/n² - 30/n⁴) / (32 + 16/n - 22/n⁴)

由于n⁴的系数在n趋近于无穷大时，其值趋近于0，因此该极限值为0。

2. 计算极限：lim(n→∞) (37n - 8n - 39) / (12 + 23n - 14n²)

解：本题可应用洛必达法则或直接约简分子分母。利用此法则或约简后，可观察到分子分母次数相同且无公因式，进而求得极限值。

分别应用洛必达法则和直接约简法得：

-37/14。

3. 求极限：lim(x→1) (x³ - 46x + 45) / (x⁴ - 17x + 16)

解：观察所求极限的分子分母，发现x=1是极限函数的可去间断点。通过提取公因式x-1并约简，得到：

43/13。

4. 求极限：lim(x→0) (29x + 2n3x) / (38x - 2sin11x)

解：利用重要极限公式sinx/x=1，对表达式进行约简和变形处理。通过此方法或使用罗必塔法则，均可求得极限值。

两种方法均得结果：

107/16。

5. 求极限：lim(x→∞) (x²sin(1/x)) / (3x + 38)

解：使用重要极限公式sinx/x=1并约简表达式。分子分母同时除以x后，得：

1/3。

6. 求极限：lim(x→0) (sin13x - sin19x) / sin3x

解：通过三角函数的和差化积公式或使用罗必塔法则进行计算。两种方法均得结果：

-2。

7. 求极限：lim(x→0) (1 + 13x)^(18/4x)

解：利用重要极限公式(1+x)^(1/x)=e进行计算。对表达式进行变形处理后，得：

e^(117/2)。