线性回归公式_拟合线性回归方程软件
线性回归，乃数理统计中一种重要的统计分析方法。其以回归分析为基石，旨在确定两种或两种以上变量间的相互依赖的定量关系。在线性回归模型中，数据通过线性预测函数进行建模，而模型中的未知参数则依赖于数据来进行估计。这种函数是回归系数——一组被称为模型参数的线性组合。
按照自变量的数量，线性回归可划分为一元线性回归与多元线性回归。一元线性回归中仅含一个自变量与一个因变量，二者关系可用一直线进行近似表述。相对地，多元线性回归则涉及两个或更多自变量，因变量与自变量间构成线。
线性回归算法的核心在于构建一个描述自变量与因变量间线的线性模型。对于一元线性回归，其模型可表达为y = wx + b的形式，其中y为因变量，x为自变量，w为回归系数（即直线的斜率），b为截距。而多元线性回归的模型则能表示为y = w1x1 + w2x2 + ... + wnxn + b的复合形式，这里w1, w2, ..., wn为各自变量的回归系数。
在模型构建过程中，关键在于寻找最优的回归系数与截距，以使模型能最佳地拟合数据。这通常通过最小化预测值与真实值间的误差来实现。均方误差（Mean Squared Error，MSE）就是常用的误差衡量标准，它计算的是预测值与真实值之间差的平方的平均值。
模型训练为线性回归算法的关键步骤之一。在此过程中，已知数据集被用于估计模型的参数（即回归系数与截距）。而这一般通过最小化损失函数达成，损失函数衡量了模型预测值与真实值间的差异。
- 正规方程：此为一解析法，用于求解线性回归模型的参数。通过对损失函数求导并设导数为零，可直接求解最优参数。虽可避兔迭代过程，但当特征数量庞大时，计算矩阵相乘的代价会相对较高。
- 梯度下降：此为迭代优化算法，通过不断更新参数以最小化损失函数。每次迭代中，算计算当前参数的梯度（即损失函数对参数的导数），并沿梯度反方向更新参数。经多次迭代后，算法可逐渐收敛至最优解。梯度下降算法有全梯度下降、随机梯度下降及小批量梯度下降等多种变体。
在模型训练进程中，为提高模型性能及效率，常采用各类优化方法。如特征缩放可减少不同特征间的量纲差异；正则化技术可防止模型过拟合，其中L1及L2正则化是常见方法；而学习率调整则影响梯度下降中参数更新的步长。
模型训练完成后，需对模型性能进行评估。均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）以及R²指标等均为常用的性能评估指标。线性回归算法在实际应用中具有广泛用途。
- 预测分析：线性回归可用于根据已知自变量预测因变量。
- 趋势分析：通过分析自变量与因变量关系来揭示数据趋势及规律。
- 特征选择：借助线性回归算法及L1正则化技术可选择对模型性能有重要影响的特征。
- 优化问题：线性回归还能用于解决诸如广告预算分配、库存管理等优化问题。
