自然对数e 以e为底的指数函数图像

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奇妙自然常数

自然常数不仅仅是一个简单的数字，它更是数学中的一颗无理明珠，约等于2.9。

想探秘这个数的背后故事吗？为什么一个无理数会被誉为“自然常数”呢？接下来让我们一起追溯其奥妙。

讲到自然常数，很容易让人联想到另一个无理常数。我们可以通过图示中内接与外切多边形的边长关系来形象地理解其含义。

当圆的直径为1时，其外接与内接多边形的周长可以构成估计值的上下限。随着内接与外接多边形的边数增加，这个上下限的范围就会越来越窄。当边数足够多时，这个上下限就能逼近一个特殊的值——圆周率。

关于圆周率的计算是直观的，但自然常数的表示却更为抽象。我们需要一种更为直观的方法来理解它。

我们知道这个表示自然底数的符号是由瑞士的数学家和物理学家Leonhard Euler命名的，首字母“e”由此而来。

提及Leonhard Euler (1707-1783)，这位数学界的巨匠，实际上发现这个常数的并非他本人，而是另一位杰出的数学家——雅可比·伯努利。

伯努利家族是17至18世纪瑞士的一个享有盛名的家族，家族现了许多杰出的数理科学家。雅可比·伯努利是该家族的杰出成员之一。

要理解e的由来，引入经济学中的“复利”概念是一个非常直观的方法。

复利（Compound Interest），是一种计算利息的方式。在这种方式下，利息不仅会根据本金计算，新得到的利息同样可以生息。因此也常被称为“利滚利”、“驴打滚”或“利叠利”。只要计算利息的周期越密，财富增长就会越快，而随着年限的增加，复利的效应也会愈发明显。

在探讨复利模型之前，我们先来看看更基础的“指数增长模型”。

我们知道，大部分细菌是通过二进行繁殖的。假设某种细菌每天一次，即增长周期为一天。如下图所示，这意味着：每天，细菌的总数量都是前一天的两倍。

显然，如果经过n天的（或n个增长周期），细菌的数量将是初始数量的2的n次方倍。

如果假设初始数量为P0，经过t天后的细菌数量则为P0×2^t。

这里，“”或“翻倍”如果我们换一种说法，也可以说是“增长率”。那么我们可以将上式写为：

当增长率不是100%，而是50%、25%时，我们只需要将上式的100%换成想要的增长率即可。这样就可以得到一个更加普适的公式。

这个公式的数学内涵是：一个增长周期内的增长率为r时，在增长了n个周期之后，总数量将为初始数量的P0×r^n倍。

接下来我们来看看雅可比·伯努利的发现：

假设你存1元钱在银行，此时银行利率飙到了100%。如果银行一年付一次利息，那么一年后你可以拿到本金加上一年的利息共计2元。

现在银行的年利率不变，但为了招揽客户，银行推出了一项：每半年就付一次利息。那么半年后你就能提前拿到一半的利息了。

这时你会选择把这笔提前拿到的利息再次存入银行。每半年结算一次利息后立即将利息存入银行的操作叫作“复利”。

随着利息结算次数的增加，年底你能从银行拿到的钱也在增加。这似乎有一个“天花板”在阻挡你企图通过1块钱赚取大钱的小目标。

如果提高利息的结算次数，余额就会逼近一个特定的值。这个“天花板”正是我们之前提到的自然常数e。