相似三角形的判定 相似三角形SSS SAS

相似三角形的判定有三种方法：

第一种：若两三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似。（简述为两角对应相等则两三角形相似，类似于“AA”型判定。）

第二种：若两三角形的两条边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。（简述为两边成比例且夹角相等则两三角形相似，类似于“SAS”型判定。）

第三种：若两三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。（简述为三边成比例则两三角形相似，类似于“SSS”型判定。）

这三种判定方法分别以“AA”、“SAS”、“SSS”型表示。

在中，遇到因动点产生的相似三角形问题时，通常需要进行分类讨论。特别是当相似符号“∽”未明确表述时，一定要进行分类讨论。

其中，“AA”型判定和“SAS”型判定都涉及到对应角相等的条件。在探求两个三角形相似性的动态问题时，我们首先应该寻找一组对应的等角。

“SAS”型判定是解题时最常用的依据。通常分为三步：首先寻找一组等角，然后分两种情况列出比例方程，最后解方程并检验。

当已知∠A＝∠D并希望探求△ABC与△DEF的相似性时，只需将夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分情况列出方程。

应用“AA”型判定解题时，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角是否相等。

虽然“SSS”型判定的应用不多见，但根据三边对应成比例列连比式解方程（组）也是解决问题的一种方法。

特殊情况：当讨论两个直角三角形相似性时，如果一组锐角相等，且其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么问题就转化为讨论另一个三角形是否为直角三角形的问题。

如图1所示，若已知A、B两点的坐标，如何求A、B两点间的距离呢？

我们可以通过构造以AB为斜边的直角三角形，并确保直角边与坐标轴平行。这样，就可以利用勾股定理求出斜边AB的长度。其中，水平距离BC等于A、B两点的横坐标之差；竖直距离AC等于A、B两点的纵坐标之差。

【典型例题】：

（与已知三角形相似的情况）：

如图所示，直线y=－x+3与x轴、y轴分别相交于B、C点。经过B、C两点的抛物线y=ax^2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且其对称轴是直线x=2。

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 是否存在x轴上的点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。

简析：(1) 抛物线的解析式为：y=x^2-4x+3。

各点的坐标分别为：A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，P(2,-1)。

(2) 根据上一问的数据，我们知道△ACB是一个已知的三角形，其三边和三角都已知。我们需要抓住是否隐藏了特殊的角，这通常是解题的关键。

本题中△ACB的∠ABC=45°是一个隐藏的条件，也是解题的突破口。要求的△PBQ必须有一个角为45°。由于动点Q在x轴上运动，所以∠PBQ必定为45°。这意味着点Q只能在B点左侧的x轴上运动。（如果在右侧，△PBQ必有两角小于45°）——这里隐藏了一组相等角！