燕尾定理等五大模型 小学阶段的各种几何模型

【启始部分】

你是否曾经思考过关于三角形的面积变化规律？当你看到两个等高的三角形，且他们的底边长度之比恰好与它们的面积之比相吻合时，是否对其他特殊情况下三角形的面积关系有所好奇？今天，我们将探讨一个有趣的几何问题，它涉及到两个等高三角形和一条特殊的线段——来自AD边的点E，并连接BE和CE的线。这看起来就像一只“燕子尾巴”，我们将通过分析这一“燕尾模型”来探究面积之间的变化规律。

【引出问题】

设想我们在这两个等高的三角形之间，于AD边上取一点E，接着连接BE和CE。此时的形似“燕子尾巴”的两个三角形，它们的面积之比是否会发生变化？我们的答案会是——

【结论】

结论依然成立！你是否想知道其中的原因呢？

【图示与模型解释】

【燕尾模型】

在几何学中，我们遇到了一种特别的定理。它给了我们一个新颖的途径去转化面积比和线段比。当你看到这样一个形如“燕子尾巴”的四边形ABEC时，这个模型被命名为燕尾模型。基于这一模型的结论，我们有了燕尾定理。这个定理在各种几何题目中都有广泛的应用，尤其是因为它能在任何三角形中存在，为三角形中的三角形面积与底边之间建立了相互关联的桥梁。

【具体示例】

【例】比如在这个图中，三角形ABC的面积是1。假设E是AC的中点，D位于BC上，且DC的长度是BD的两倍。当AD与BF相交于F时，我们要求的是四边形DFEC的面积是多少？

【解析与解答】

【解析】如果我们设三角形的面积为a，根据燕尾定理，其他三角形的面积可以这样表示：

考虑到三角形ABC的面积为1，我们可以得到：

a + 2a + 3a + 3a + 3a = 1。

这样，我们就可以推导出四边形DFEC的面积了。

【结尾部分】