立方和立方差公式 立方差公式为什么删了

昨日，有学生向我询问实数范围内解方程组的问题，我回想起自己曾解过一道类似的题目，不过不是涉及五次方，而是三次方。

这道题目相对简单一些，我们可以先从它开始讲起。根据二项式定理（也就是我们常说的杨辉三角），

这一理论告诉我们，通过适当的配凑，我们可以求出 xy 的值，从而解出方程。

再次利用二项式定理，我们同样可以通过适当的配凑在第一个题目中解出 xy ，进而解出整个方程。

和差换元法也是解决这类问题的有效途径。

还有一道与实数范围内求值相关的题目，眼力好的同学可能会发现它与上面提到的第二个方程组有着异曲同工之妙。

在解答上述题目的过程中，我们用到了立方差公式。

与此相关的还有立方和公式，实际上它们都源于下面的公式。

举个例子来说，我们曾强调在实数范围内解方程，因为在复数范围内，根据代数基本定理，一个 n 次方程一定有 n 个根（包括重根）。

在复平面中，复数可以表示为三角形式。根据棣莫弗公式，两个复数相乘时，模长相乘，角度相加。

这样我们还可以得出其他结论：如果我们有一个复数，那么我们就可以开任意次方得到

n 个根。

让我们以一个简单的实例来解释这一点。

在复数世界里，即使一元二次方程的判别式 Δ 小于 0，它也是有解的。

对于解方程的过程，其实是一种构造配凑的思维体现。数学中还有很多巧妙的构造方法，例如解方程常用的“和差对偶构造”，三角函数中常用的“互余对偶构造”，复数中的“单位化共轭构造”等。下面我们以一个例子来具体说明“单位化共轭构造”的应用。

而“互余对偶构造”同样可以用来解决这个问题，我们可以这样操作……

再来一个“和差对偶构造”的例子，来帮助大家理解这种思维方法。