空间向量基本定理 四点共面向量系数和为1

在数学小题的压轴位置，向量并不常见，但一旦出现，往往与向量的最值或跨专题知识相联系。相关题目的难度普遍不高，与平面向量基本定理有关的压轴题目更是少见。现整理出十道相关题目供大家参考。这些题目力求在半小时内完成，具体如下:

平面向量基本定理常常从几何运算的角度出发，考察与向量系数有关的问题。在解题时，需留意题目中是否存有共线关系，由此可引申出系数和最值的等和线思想。系数问题也会结合向量的四心进行考查，重点要掌握重心、外心以及与此相关的常用结论。

针对知道平面向量OP和OQ的长度及夹角的情况，最好是将所求向量与之转化。题目中向量等式系数若与共线有关，则可确定点C的轨迹，利用极化恒等式进行处理。

有一题涉及初中几何中的特定结论，即直角三角形中两边平方的倒数与斜边上高的平方的倒数之和的关系。题目描述线段MN与以C为圆心、半径为1的圆相切，利用等和线中线段长度的比值可求出系数和的最大值。

紧接着的题目是2019年浙江高考数学的填空压轴题。通过将点坐标化，可以确定出最值，其中最小值为零是容易确定的，而最大值并非直观的√32，解题关键在于λ5和λ6的运用。

另一题利用D、F、E三点共线来求λ值。根据面积关系可以得到平行四边形两条临边的关系，通过等式平方后消元，利用不等式即可求出最值。

经典题目多变，有的求系数和的最值。这类问题一般根据外心和题目中的等式，分别与向量AB、AC相乘，联立求参数。若需求最值，运用等和线思想会更为简便。

还有一些题目考察多个点共线时确定多个参数的值。解题时只需大胆设参数即可。例如，当E、M、F共线，C、M、B也共线时，向量OE与向量OC、向量OB与向量OF之间存在转化关系，确定出选项A后，其余选项的判定就相对容易了。

另有一些题目与前述题目类似，都是通过设参数和对照系数来解决问题。

有些题目则更侧重于不等式的运用。若将所求视为a²+b²的最值，并利用共线关系求出1/a+1/b=k，可先求出a+b的最值，再根据a²+b²≥(a+b)²/2即可求出最值。这些题目中两次不等式的运用条件是相同的。

还有一些题目是关于三边长及角度的问题。通过向量的共线形式可以得到点坐标之间的转化关系。对于这类题目，若是作为大题可按常规步骤求解，若是小题则可以直接通过具体化直线求出M、N的纵坐标，进而求出参数和。

这些都是圆锥曲线中定比分点问题的基类题型。以向量共线的形式可得到点坐标之间的转化关系。对这类问题稍加复习可以巩固解析几何中的相关知识。

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