exp什么意思数学 exp()函数

1.4 它的导数与神秘数 e 的探究

是否存在某个函数，其导数与自身一致呢？明显地，常函数并不符合这个特性。幂函数也并非我们寻找的答案，因为它们的导数在经过求导后幂指数会减一。通过将无穷多个幂函数进行累加，我们便能发现这样的函数。

【实践】试着去思考如何构造这样的函数，其方法与无穷等比数列的求和颇为相似。例如，我们考虑下面这个函数（这里提到的 exp 是指指数函数，类似于 sin 函数的角色）:

面对求和符号，无需感到畏惧！重复两遍：无需感到畏惧！因为即便这是无穷多个幂函数的累加，其结果并非无穷大，而是一个确定的数值。简单判断逻辑如下：每一项的分子与分母之比，当 n 值极大时，每一项都会趋近于 0，累加后的结果确实是一个具体的数值。

（当我说“n很大”时，指的是在面对“很大”或“很小”这样的描述时，我们需要明确哪个量级更大或更小。）

如果我们逐项写出这个函数的表达形式并进行求导，会发现其导数确实与原函数一致。

但有一点值得注意：若原函数具备某种特性，其导数也会相应地具备。若存在一个函数满足“导数等于自身”的条件，那么该函数的任何变换形式也满足此条件。上述的 exp x 函数之所以被广泛使用，是因为当 x=0 时，其值为 1。事实上，能够满足“导数等于自身”且符合其他特定条件的函数，仅此一个。

在数学中，exp 1 这个数值经常出现，我们称之为 e。这便是高中课本中提及的 e 数值。有兴趣的读者可以利用二项式的某些性质来证明 exp·exp = exp(+)。还可以证明对于任何实数 ，都有相应的规律。