什么是对称矩阵 实对称矩阵举例子

实对称矩阵具有独特的数学特性，它不仅可以通过可逆矩阵进行相似对角化，还可以通过正交矩阵来实现相似对角化。对于实对称矩阵，其不同特征值所对应的特征向量是正交的，并且其实对称矩阵的特征值全为实数。在学术研究及考试中，掌握如何通过正交矩阵对实对称矩阵进行相似对角化是重点内容。

实对称矩阵定义：当矩阵的元素都是实数且其转置等于自身时，我们称其为实对称矩阵。

实对称矩阵的特征、特征向量及相似对角化：

（1）实对称矩阵的特征值均为实数；

（2）属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量彼此正交；

（3）实对称矩阵总可以经由正交矩阵进行相似对角化，此对角矩阵由其特征值构成。

实现实对称矩阵正交相似对角化的步骤：

在处理实对称矩阵，并寻求其正交相似对角化的过程中，通常遵循以下步骤。

题型一：实对称矩阵的正交相似对角化问题

例1：对于某一实对称矩阵，其非齐次线性方程组有无穷多个解。这等价于说矩阵A的秩等于增广矩阵的秩且小于某特定数值。

对于此类问题，我们可通过实对称矩阵的正交相似对角化方法来解决。

解法概述：首先分析矩阵的特性和其相关方程组的解的性质，然后运用求实对称矩阵相似对角化的技术来得出解决方案。

题型二：相似对角矩阵的应用

例2：给定一个n阶矩阵A，其特征值为1，2，3，...，n。我们需要求解表达式|3E+A|。

对于这类问题，我们可以利用特征值和行列式的性质来进行计算。