两点间的距离 初中两点间距离公式

主题：九年级数学练习题解析

近日，在九年级上册数学配套练习册《人教金学典》中，有一道选择题引起了广泛关注。这道题目因其难度，使学生们普遍感到困惑。

解析：

本题的核心在于寻找△PMF周长的最小值。已知FM为两个定点之间的距离，是一个定值。问题的实质就是寻找PF与PM的最小和。鉴于函数图像上的点到固定点F的距离与其到x轴的距离始终相等，我们可以依据线段的基本性质，得出PF与PM的最小和实际上就是点M到x轴的垂线段的长度。

第一步，计算FM的长度。如上图所示，构建一个直角三角形，利用勾股定理或直角坐标系内两点间的距离公式，我们可以轻易得出FM的长度为√[(3-2)² + (√3)²] = 2。

第二步，确定PF和PM的长度。如上图所示，过点M作MN⊥x轴，交点N为垂足，并与抛物线交于点P。我们知道点P的横坐标为√3，因为其位于抛物线上，所以点P的纵坐标为1/4×(√3)²+1=7/4。PN=PF=7/4，而PM的长度则为3减去7/4。

第三步，计算△PMF的周长。将FM、PF和PM的长度相加，得到的结果为5。答案应选C项。

反思：

本题在求解PF+PM最小值时，既运用了线段的基本性质——两点之间线段最短，又利用了点到直线的距离中，垂线段最短的原理。为了更直观地展示这一知识点，我们绘制了两个辅助图。图中显示，无论是在点P的哪一侧取点P1、P2，作它们到x轴的垂线段P1N1、P2N2，再连接MN1、MN2，我们都可以明显看出MP1+P1N1、MP2+P2N2都大于MN，而MN正好等于PF+PM。这样的演示也为我们复习了这一重要知识点。

预祝各位学习者和数学爱好者国庆节快乐！