可导必连续 可导不可导顺口溜

高等数学第11篇：定积分探秘

对于许多人而言，定积分的内容或许在高中物理课程中已有所接触，当时我们使用了一种名为“微元法”的方法来解决一些物理问题。实际上，微元法本质上就是微积分的一种计算方法。

从扇形面积说起

让我们从一个简单的例子开始：扇形的面积计算。尽管这看似是初中的知识，但我们可以换一个角度来重新审视它。

想象一个扇形，我们通常会用圆的面积乘以圆心角来计算其面积。但如果我们将这个扇形切割成无数个小的直角三角形，并令这些三角形的底边无限变窄，那么这些三角形的面积之和就近似于扇形的面积。

这样的操作让我们意识到，我们可以用无数个小三角形的面积来近似替代扇形的面积。而这些小三角形的面积，也就是1/2乘以底边和高的乘积。累加这些小三角形的面积，其实就等同于累加这些底边，最终的结果就是扇形的弧长。

拆分与累加的艺术

除了扇形，我们还可以用类似的方法来计算曲线围成的面积。通过将这个曲线拆分成无数个小矩形，并将它们的面积累加起来，我们就可以得到曲线围成的面积。

尽管每一块小矩形的宽是固定的，但它们的高却各不相同，这些高度其实是区间内某一坐标的函数值。

在这个拆分与累加的过程中，我们其实是在进行一种数学上的近似。而这个近似的有效性，是基于我们进行的划分足够精细，即当每个小矩形的宽度趋近于0时，这些小矩形的面积之和趋近于真实面积。

定积分的数学定义

在数学上，我们如何正式地定义定积分呢？

定积分是一种数学对象，它表示的是一种特定的和式（即累加的形式）在某种极限下的值。其中，被积函数、被积表达式、积分变量、积分的上限和下限等都是定积分的重要组成部分。

那么什么样的函数可积呢？连续函数是可积的。如果函数在给定区间上有界且只有有限个断点，那么它也是可积的。

高数的顺口溜

在学习高数的过程中，我们常常会遇到一些难以理解的概念和性质。为了帮助记忆和理解，有些人编撰了一些高数的顺口溜。

例如：“可导一定连续，连续不一定可导。” “连续一定可积，可积不一定连续。” “可导一般可积，可积不一定可导。” 这些顺口溜虽然简单易懂，但却包含了高数中的一些基本概念和性质。

如果对这些顺口溜感到困惑，不妨多翻阅一些高数教材或参考书籍，相信会有所启发。

定积分的性质

定积分有一些重要的性质，如加法性质、延续性质和保号性等。这些性质在定积分的计算和证明中都有着重要的应用。

对于这些性质的证明，我们可以通过将其转化为累加的形式来进行推导。尽管这个过程可能会有些复杂，但一旦理解了其中的原理，就会觉得这些性质其实是非常直观和容易理解的。

定积分的计算：待续

关于定积分的计算方法，这里先卖个关子。如果你学过微积分，那么对于如何计算积分应该还有一些印象。但为了确保我们给出的结论是严谨的，我们将在下一篇文章中详细介绍定积分的计算过程。敬请期待哦！