曲线弧长公式_任意曲线长公式

话题：数学、微分几何、曲线论

小石头/编辑

在三维空间 ℝ³ 中，曲线 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 通过参数替换 t = η(s)，可以得到 r(s)。尽管 r(t) 和 r(s) 是不同的参数表达式，但它们实质上表示的是同一条曲线，这体现了曲线的参数表示式的多样性。

向量函数的微分定义如下：

在众多的参数表达式中，我们可以选取一个，使得 |r'(t)| = 1，这就是曲线的弧长公式。参数 t 就代表了弧长 s。

反过来，对于任意参数 t，对其两端求微分，得到的结果与弧长公式紧密相关。具体来说，ds = |r'(t)|dt。等式两边同时平方后，可以得到 (ds)² = (|r'(t)|²)(dt)²。进一步化简，我们可以得到 |r'(t)| = √(ds/dt)。

当 t = s 时，有 |r'(s)| = 1。这说明当选取弧长 s 作为参数时，自然有 |r'(s)| = 1，我们称 s 为自然参数。

对于曲线的一般参数表达式 r(t)，我们可以通过适当的参数替换 t = η(s)，使得 |r'(s)| = 1。这是复合函数求导的规则所决定的：

• (f∘g)' = (f'∘g)g'

r'(s) 可以表示为 r'(t)φ'(s)。进一步地，我们可以得到曲线上每一点 P 处的切向量为 r'(s)，即单位切向量 α。

又令 β = α'/|α'|, γ = α × β。分别称 β 和 γ 为该曲线在 P 点的主法向量和副法向量。

由于 α∙α = |α|² = 1² = 1，根据向量点积的求导规则，我们可以推导出 α 与 α' 的正交关系。进而得出 α 与 β 也正交。

实际上，可以证明，当 f' 的模长为常数 C 时，f 与 f' 正交。这构成了 Frenet 标架的基础。

Frenet 标架中，α、β、γ 是两两互相垂直的单位向量，它们构成以 P 为原点的直角坐标系。密切平面的几何意义是曲线在 P 点附近的一小段弧所处平面。若将曲线看作有直径的钢丝，其在 P 点的横截面所在平面就是法平面。

综上，我们通过严谨的数学推导和几何意义解释了曲线的参数化表示、弧长公式、单位切向量、主法向量和副法向量等概念。这些内容在微分几何和

可以证明 γ' 与 β 的关系为 '∥

• 当 γ' 的模长 |γ'| 为正值时，表示 γ' 和 β 反向；
• 当 |γ'| 为负值时，表示 γ' 和 β 同向。

分别称 κ 和 τ 为曲线在 P 点的曲率和挠率。显然有：

α' = κ β, γ' = -τ β

曲率的几何意义是：

在密切平面内，P点处，方向变化量 Δφ 关于弧度变化量 Δs 的变化率体现的是曲率κ。

挠率的几何意义是：

在法平面内，P点处的方向方向变化量 Δψ 关于弧度变化量 Δs 的变化率体现的是挠率τ。

曲率κ主要反映曲线纵向的弯曲程度，而挠率τ则体现曲线绕中心轴的扭曲程度。二者共同决定了曲线的形状。

如果把曲线看作飞机的飞行轨迹，那么俯仰控制的是曲率κ，而横滚控制的是挠率τ。

偏航会同时改变κ和τ，因为根据性质有：

(f × g)' = f' × g + f × g' 等等。

进一步推导，我们可以得到：

|β'|^2 = τ^2 γ∙γ - 2τκ α∙γ + κ^2 α∙α = τ^2 + κ^2。

我们可以得出：

|β'| = √(κ^2 + τ^2)。

在平面内的二维曲线可以看作是三维曲线的一部分，其意一点P的密切平面与三维空间中的平面相重合。垂直于该平面的法向量γ的挠率τ在平面曲线中恒为零，只需考虑曲率κ即可。

对于中心在原点、半径为R的圆，其自然参数表达式及曲率的计算结果为：圆的曲率与半径互为倒数。

对于任意三维曲线r，我们可以在P点的密切平面内做一个与其相切的半径为1/κ的圆。该圆与r在P点具有相同的曲率，被称为r在P点的曲率圆。

(曲面论"基本知识虽简单，但却是研究曲面甚至流行的有力工具，因此非常重要，值得我们认真学习。)...