二次函数图像怎么画_二次函数的曲线怎么画

这篇文章基于读者在平台下所提出的疑问展开，其关注点在于二次曲线系在处理圆锥曲线与双直线的选择问题。以下，将对此疑问进行详尽的解答。

需明确的是，二次曲线系与极点极线在解析几何中的应用并非高中阶段的必学内容，这两者在高考数学的答案现的几率较低。这两个知识点在高中阶段仍可用来有效解决一些特定问题，如圆锥曲线与直线的交点问题以及涉及动点引申出的动直线问题。先前我们已经就相关内容进行了讲解，如有需要，可参考以下链接获取更多信息:

由于二次曲线系和极点极线在处理某些问题时存在交叉性，很多使用二次曲线系解决的问题也可采用极点极线的方法解决，反之亦然。接下来，我们将通过两道经典例题来具体说明这一点。这两道题目的常规解法在此不再赘述。

对于极点极线的几何作法，我们在之前的推送中已经给出了详细的图解。在此需解释为何四边形AMNB的对角线交点一定位于直线x=1上。用极点极线的方法可以轻松解释这一点：因为特定的点E必定位于x轴上，其对应的极线即为一条与x轴垂直且经过点P和点Q的直线上，因此点Q必然位于直线x=1上。由点E的极线方程x=1，我们可以求出点E的坐标。由于点E位于直线MN上，因此这条直线必定经过一个固定的点E(4，0)。这种题目的解决方法使用极点极线的方法既简洁又直观。

至于二次曲线系的方法，其核心思路是先写出过双直线与椭圆的四个交点的曲线系方程，再把这个方程简化为两条过这四个交点的双直线方程的乘积形式，从而得出未知直线方程的表达式和恒过的定点。这一过程虽有一定复杂性，但逻辑清晰，便于理解。

相似的题目如2020年全国1卷理科数学的圆锥曲线题目，其解决方法也与此类似。对于这种题目，我们将给出两种解决方法以供选择。

以上两种方法在理论层面上并不难理解，关键在于如何将它们正确地应用到实际问题中。关于二次曲线系的进一步探讨，有读者在后台提出一个有趣的问题：当双直线与圆锥曲线只有三个交点时，是否仍能使用二次曲线系的方法？如上图所示，当AM和AN交于同一点A时，我们可以将A点处的切线视为其中一条直线。接下来我们将详细探讨这一情况:

因为切线可以被看作是割线的极线形式，选择A点处的切线作为其中的一条直线是显而易见的。如果只要求过三个点即可，我们是否可以将二次曲线系方程简化为过A点的y轴和MN所在直线的乘积形式？

经过分析得出，答案是不可以。如果选择y轴是可行的，那么任何过A点的直线是否都可以被选用？虽然y轴确实经过点A，但如果我们选择y轴即x=0与MN所在直线组成双直线，那么退化后的方程x(Ax+By+c)=0将只包含x²、xy和x这三项。然而在上述的二次曲线系方程中还存在y²和常数项。我们无法将二次曲线系退化成这种形式。若我们选择A点处的切线y=1，此时与MN组成双直线将产生xy、y²、x和y等多项式项。由于曲线系中的λ具有任意性，我们可以通过赋值来消除多余的项。从几何的角度来看，切线始终是割线的极线形式。但需明确的是，并不是过A点的任意一条直线都可以被称作切线。