二阶偏导数 二阶偏导数公式详解

对隐函数y=(x+2y^2)^2进行一阶及二阶导数计算的详细解析

本文将通过运用隐函数、函数和、函数商的求导法则，以及幂函数的求导公式，详细阐述隐函数y=(x+2y^2)^2的一阶和二阶导数计算步骤。

对于给定的隐函数，首先对其求一阶导数。

已知y=(x+2y^2)^2，我们对x进行求导。

经过推导，我们得到一阶导数表达式为：y'=2(x+2y^2)(1+4yy')。

进一步化简，可以得出：

y'=2(x+2y^2) + 8(x+2y^2)yy'，以及y'=[1-8(x+2y^2)y]/2(x+2y^2)。

将上述表达式进一步整理，我们得到一阶导数的具体形式：

y'=2(x+2y^2)/[1-8(x+2y^2)y]。

接下来，我们将一阶导数结果代入原函数中，推导二阶导数。

二阶导数表达式较为复杂，但经过逐步推导，我们可以得到：

y''=4y^(1/2){1/2[1-8y^(3/2)]+y^(3/2)83/2}/[1-8y^(3/2)]^3。

进一步简化后，二阶导数可表示为：

y''=[2+32y^(3/2)]/[1-8y^(3/2)]^3。