复合函数奇偶性口诀 复合函数的奇偶性判断

在中学数学教育中，函数学习是至关重要的内容，虽然其抽象性使得学习过程更加艰难，但只要我们掌握了正确的方法和技巧，便能达到事半功倍的效果。

当我们深入研究函数的奇偶性时，掌握判断函数奇偶性的方法显得尤为重要。首先要明确，函数的奇偶性是以其定义域为先决条件的。只有当定义域关于原点对称时，我们才能进一步探讨函数的奇偶性。

[基本概念]

一个函数若具有奇偶性，那么它的定义域必须关于原点对称。我们还需要考虑f(-x)与f(x)的大小关系。

①若f(x)为偶函数，则f(x)－f(-x)=0恒成立，即f(x)/f(-x)=1恒成立。

②若f(x)为奇函数，则f(x)+f(-x)=0恒成立，即f(x)/f(-x)=-1恒成立。

[常见题型解析]

接下来，我们将通过几个实例来熟悉函数的奇偶性。

例一：判断函数f(x)=xlg(ⅹ+√(ⅹ^2+1))的奇偶性。

解析：首先确认定义域的对称性，然后计算f(-x)的值，比较f(x)与f(-x)的关系，得出结论。

例二：(2017·全国卷2)已知奇函数f(x)在R上定义，当x∈(-∞，0)时，其表达式为f(x)=2x^3+x^2。求f(2)。

解析：利用奇函数的性质，通过求出f(-2)的值，再利用奇函数的特性求得f(2)。

例三：已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(-∞，0]时，其表达式为f(x)=x^2+2x。求f(x)在R上的解析式。

解析：利用偶函数的性质，通过求出x>0时f(x)的解析式，得出整个定义域上的解析式。

[练习题]

1. 已知定义在R上的奇函数f(x)，当ⅹ∈(0，1)时，其表达式为f(x)=2^x/(4^x+1)，求f(x)在(-1，0)上的解析式。

2. 已知奇函数g(x)和偶函数f(x)，它们的公共定义域为{ⅹ丨x∈R且x≠±2}，且满足f(x)+g(x)=x/(ⅹ－2)，求g(ⅹ)和f(x)的解析式。

通过不断的练习和实践，我们将能够更加熟练地掌握函数的奇偶性，从而更好地理解和应用函数知识。