向量垂直公式 向量平行公式

在数学领域中，实数的运算我们早已熟知，包括加、减、乘、除以及幂运算等。当我们进入向量的世界，其运算规则便有了独特的魅力。

向量不仅具有大小，还蕴含了方向的信息。它的运算方式与我们所熟悉的实数运算截然不同。

让我们来探讨向量的加减运算。

向量这一概念虽然抽象，但其起源与物理中的矢量概念紧密相连。方向上的加减运算严格遵循矢量的等效原则，也就是我们常说的平行四边形法则。

如图所示：当向量OC与向量OD相加时，我们可以通过平移向量OD至CG，同时平移向量OC至DG，从而形成一个平行四边形。该平行四边形的对角线OG即为向量OC与向量OD相加的等价向量。

同样地，若向量EF等价于向量CG，则二者相加的结果可以通过平移至CG的位置，再利用平行四边形法则得出。

值得一提的是，平行四边形法则还可以演化为向量加法的三角形法则。具体而言，当两个向量首尾相连时，这两向量的和便是从起点指向终点的向量。

规定：向量的加法满足结合律和交换律。这意味着，无论向量如何组合相加，其结果都是固定的。这一规律在具体情境中表现为：起点相同的向量相加，其结果向量的终点即为各向量终点的共同点。

对于向量的相减，其实质是被减数向量加上减数向量的相反向量。这一过程同样遵循首尾相连的三角形法则。

我们看到，两向量相加的三角形法则构成了一个向量相加的回路，确保了两向量相加的结果向量始终从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

在处理多个向量的加法时，只要它们符合首尾相连的特征，我们便可利用加法结合律，先计算前两项的结果，然后逐对两两相加，最终得到和向量。

向量加法的这种闭环形式在平面几何或立体几何的图形证明中常常发挥奇效，它不仅能够拓宽我们的解题思路，还可以降低代数运算的复杂度。

除了几何运算方法外，向量还支持坐标运算。

在直角坐标系中，无论向量的起始点在哪里，我们都可以通过平移将其起点移至原点。然后从终点向x轴和y轴作垂线，与两坐标轴相交即可得到唯一的坐标值a和b。这样，我们便能够将该向量在x轴和y轴上的投影定义为向量ai和向量bj。

根据平行四边形法则，我们可以将向量表示为坐标形式。具体而言，我们将向量的终点坐标与单位向量的对应分量相乘并累加，即可得到该向量的坐标表示。

以向量OZ为例，其坐标表示为（a,b），与其实质是相同的。这种表达方式让我们能够以坐标形式对向量进行准确描述和运算。

当我们引入另一个向量OA时，其也可以通过A点的直角坐标进行唯一表示。接下来我们将进行向量的相加运算。

按照平行四边形法则，向量OA与另一向量的和为OB。而OB的坐标正是两个向量的对应分量之和。

由此我们可以得出向量的坐标运算规律：两个向量的和或差可以通过对应分量的和或差得到。

同样的逻辑也适用于多个向量的加减运算。