共轭复数公式表示_α±βi虚根怎么求

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密码学是研究信息安全的学科，它涉及到许多数学概念，比如群、环、域等基本概念。下面我们将详细解释这些概念及其在密码学中的应用。

群、环、域

群是一种代数结构，由一个集合和一个二元运算组成，这个二元运算必须满足一些特定的条件，如封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。群的一个重要性质是封闭性，这意味着在群中进行的任何操作都不会导致离开群。环是由一个集合和两个二元运算组成，分别是加法和乘法，并满足一些特定的条件。域也是由一个集合和加法、乘法两个运算组成，满足一些基本的运算律。这些群、环、域的概念在加密算法中起着重要作用。

有限域是元素个数有限的域。有限域的扩张是指将一个有限域在保留运算的情形下扩展为另一个更大的有限域。分圆多项式在有限域上的分解理论是实现快速数论变换、同态加密中明密文打包技术的基础。

我们以群为例，简单介绍一下它的概念和性质。群是一种由一个集合和该集合上的一个二元运算组成的代数结构。这个二元运算必须满足一些特定的条件，如封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。在密码学中，群被广泛应用于加密算法中，如Diffie-Hellman密钥交换算法就利用了群的性质。

接下来是环的概念。环是由一个集合及定义在其上的两种运算（加法和乘法）组成的代数结构。加法满足交换律和结合律，乘法分配于加法等等。环是更复杂的代数结构，它在密码学中也有着广泛的应用，如模运算和同态加密等。

再来看域的概念。域是在环的基础上进一步抽象出来的概念，它除了满足环的运算规律外，还要求所有的非零元素都有乘法逆元。域在密码学中有着非常重要的作用，如在椭圆曲线密码中，域的运算被用来实现加密和解密操作。

刘仁章老师

我们邀请到了密码学专家、应用数学博士刘仁章老师，带领大家一起学习密码学基础—有限域。刘仁章老师将在OpenMPC组队学习MPC第六期中，与我们分享他的知识和经验。

裴君翎的笔记

接下来是南开大学的裴君翎关于本期课程的笔记整理。裴君翎的笔记主要分为群环域部分和有限域及其性质部分，详细记录了课程的内容和重点，对于我们学习和理解密码学基础—有限域非常有帮助。

以下是部分具体内容展示...

群的部分

简单介绍了群的概念和性质，如群的封闭性、结合律、单位元和逆元等。还介绍了群的例子和群在密码学中的应用，如Diffe-Hellman密钥交换算法就是利用了群的性质。

环的部分

介绍了环的概念和性质，如环上的加法和乘法运算，以及环在密码学中的应用，如模运算和同态加密等。

域的部分

详细介绍了域的概念、性质和运算规律，以及域在密码学中的重要应用，如椭圆曲线密码等。

分圆多项式和其他相关内容

介绍了分圆多项式的概念和性质，以及它在密码学中的重要应用。还介绍了其他相关内容，如有限域上的多项式和剩余定理等。

结尾

文章最后以刘仁章老师的邀请和热门文章的推荐作为结尾，鼓励大家加入OpenMPC社区，一起学习和成长。

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