二项分布公式 D(X)与E(X)公式

1. 二项分布概述

2. 实例解析

二项分布简介

设想从产品中随机抽取20件进行检测，产品仅分为1等品和2等品。根据历史数据，2等品的概率为20%。那么在这20件产品中大约会有多少件是2等品呢？如果我们将2等品的件数记作随机数量X，它的分布律又是怎样的呢？

我们将用数理统计的语言来描述这一问题。假设我们进行了n次独立的试验（即上一次试验的结果不会影响下一次试验的结果），每次试验只有“成功”与“失败”两种结果，且每次试验获得“成功”的概率都是一个固定常数p。记“成功”的总次数为随机变量X，那么X的分布就称为二项分布（记作X~B(n， p)）。

在上述问题中，进行了20次抽样试验，抽中2等品产品即为“成功”，每次“成功”的概率都是常数p=0.2。总“成功”次数的分布就是参数为n=20，p=0.2的二项分布，即X~B(20，0.2)。数学上可以证明，一般的二项分布的取值概率如下所述。

二项分布的取值概率公式

二项分布的期望及方差公式为：

E(X)=np

V(X)=np(1-p)

Minitab实操演示:

在MINITAB中新建一个空白文件。在第一列上命名为“次数”，取值从0到20。通过“计算>生成模块化数据>简单数集”的操作，可以生成所需的数列。接着，通过“计算>概率分布>二项”的操作，可以进入二项分布的概率计算界面。通过“图形>概率分布图”的操作，选择“单一视图”可以获得相关的概率分布图。

结论：在上述问题中，抽中4件2等品的概率最大。当数量小于4时，其概率会逐渐上升；当数量大于4时，其概率会逐渐降低直至为0。

二项分布的特点:

当二项分布中的参数n足够大（超过100），且参数p介于0.1至0.9之间时，二项分布B(n，p)近似于正态分布N(np，np(1-p))。

实例:

假设一个城市有10000名新生儿，男女出生概率相等。市长决定给每个男婴一个足球，每个女婴一个芭比娃娃。我们需要计算市长需要准备多少足球和芭比娃娃以确保万无一失。

解答：设男婴出生人数为X，则X服从B(10000，0.5)的二项分布。由于此例符合二项分布的特点，我们可以用正态分布来近似描述。即均值为μ=np=5000，标准差σ=√(np(1-p))=50。正态分布可表示为N(5000，2500)。题目要求的是万无一失的概率，即小于万分之一的概率。根据正态分布的特性，我们可以计算出相应的足球和芭比娃娃的数量。

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