二次函数的解析式 二次函数的6个公式

同学们好，我身为李状元数学课的，负责给大家讲授易懂的高中数学知识。

上一讲我们深入探讨了二次函数的解析式及其图像。

二次函数的单调性和对称性是其核心特性。单调性以对称轴为界进行划分，结合图像的开口方向可以轻松判断。

当我们将二次函数的值设为0，即f(x)=0时，它就转化成了一元二次方程。

对于这个方程的解法，我们之前已有涉猎。主要采用两种方法：第一种是十字交叉法，也就是因式分解；若不能因式分解，则使用求根公式。

方程解的存在情况有三种：无解、有两个相等的根以及两个不等的根。我们通过判断△=b^2-4ac，即求根公式中的根号内部分，来得出结论。

具体来说，当△<0时，方程无实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；而当△>0时，则有两个不等的实数根。

一元二次方程的本质就是令f(x)等于0，其解即为此时自变量的值。一元二次方程解的情况可以与函数图像在x轴上的位置相对应。我们会发现，方程的解实际上就是函数图像与x轴交点的横坐标。

函数图像与x轴的位置关系有三种：相离、相切和相交，它们分别对应于方程无解、有两个相等的根和有两个不等的根这三种情况。

再来看一元二次不等式。它可以表示为f(x)>0、f(x)<0、f(x)≥0或f(x)≤0的形式。考虑到等号情况可被视为将方程的解纳入不等式的解集中，所以我们主要关注f(x)>0和f(x)<0两种情况。

从图像上看，这两种情况对应于函数图像位于x轴上方和下方的部分。

若函数图像与x轴无交点，即△<0的情况，当函数开口向上时，其值始终大于0；而当开口向下时，其值始终小于0。这就是二次不等式的恒成立问题。

若函数图像与x轴有一个交点，即△=0时，除了与无交点的情况类似外，还多了f(x)=0的情况。这使得f(x)≥0或f(x)≤0恒成立。

当函数图像与x轴有两个交点时，即△>0.

这时，函数图像被这两个交点分为三部分：两侧对称的部分和中间的另一部分符号相反。我们只需结合开口方向，从图像中找出并写出相应的区间，即可得到f(x)>0和f(x)<0的解集。

请同学们注意，函数图像是解决二次函数、二次方程以及二次不等式问题的关键。