收敛半径的两种求法 收敛半径R等于什么

一、开篇引导

在高考数学的征途上，我们会经常碰到一些和圆相关的题目，其中涉及圆的性质、切线、割线等元素。这些题目中，其实隐藏着半径与直线的斜率之间的特殊关系。掌握了这些关系，我们就能更加迅速且准确地解答相关题目。

二、基本数学模型及结论

1. 切线斜率与半径的关系

当有一个圆C的方程为(x−a)²+(y−b)²=r²，圆心为C(a，b)，半径为r。如果一条直线l与圆C在点P(x0，y0)处相切，那么这条直线的斜率k与从圆心C到切点P的连线CP的斜率之间存在一个特定的关系。

具体来说，这个关系可以表示为：k×kCP=−1。其中，kCP是圆心C到切点P的连线CP的斜率，可以通过P点的坐标和圆心C的坐标计算得出。

2. 割线斜率与半径的关系

对于同一个圆C和一条过圆外一点A(x1，y1)的割线l，当割线与圆交于点B(x2，y2)和D(x3，y3)时，割线l的斜率kl与圆心C到点A的连线CA的斜率kCA之间也存在一定的关系。这个关系可以通过韦达定理推导得出：

kl=x2−x3y2−y3=−AC2⋅kCA+r2⋅kCA′r2−AC2。其中AC2代表点A到圆心的距离的平方，kCA′是kCA的负倒数。这个公式虽然在高中的考试中不常用，但是了解它有助于我们更深入地理解半径与斜率的关系。

三、高考实战应用

在高，我们常常会利用上述的切线和割线与半径的关系来快速地解决问题。

1. 快速判断切线：已知某直线与圆的一个交点及圆心坐标时，我们可以利用切线斜率与半径的关系快速判断该直线是否为圆的切线。

2. 求解切线方程：如果已知切线的一个点及圆心坐标，我们可以利用切线斜率与半径的关系求出切线的斜率，进而求出切线方程。

3. 解决最值问题：在高，常会遇到与切线相关的最值问题，如求切线长的最值、求与切线平行的直线与圆相交弦长的最值等。这时，我们可以利用切线斜率与半径的关系及圆的性质进行求解。

四、例题详解

【例题】给定一个圆C:x²+y²=4，点P(1,1)在圆外。我们需要找出过点P且与圆相切的切线l的方程。

【解析】首先设切线l的方程为y−1=k(x−1)，将其化为一般形式kx−y+1−k=0。然后利用点到直线的距离公式及圆的半径r=2求出切线l的斜率k。解出k后，将k值代入切线方程即可得到切线l的方程。此外还需注意验证是否存在垂直于x轴的特殊情况，此时切线方程为x=1。

切线l的方程为3x+4y−7=0或x=1。