实对称矩阵的特征值_实对称矩阵的特征值相等

PCA的本质：其核心在于通过寻找若干个线性组合，将样本参数进行综合，从而更有效地区分各个样本个体。

以学生的学业成绩为例进行简单类比：各科成绩的参差不齐，仅凭单一科目的成绩难以准确区分学生水平。若以总成绩作为综合评价指标，区分度则大为提高。这便如同PCA的初步体现，虽然只有一道主成分，但其线性组合即为算数平均值。

如果我们将理科成绩的重要性加重以求取总成绩（线性组合），那么在总成绩相近的情况下，偏重于理科的学生排名便会靠前。这样的类比可以进一步引出第二主成分的概念。

在此类比中，横轴代表总成绩，纵轴则表示加强理科权重后的总成绩。如此一来，学生便可以被划分为以下四类：总成绩与理科成绩均佳、总成绩好但理科差、总成绩差但理科好以及总成绩与理科成绩均差。这样的分类方式使得主成分分析更加易于理解。

主成分分析致力于寻找几个（通常为两个）不相关的线性组合，这些组合对样本参数进行综合，以便最大程度地区分样本个体。原先需要关注多门科目的成绩以进行排序和区分，现在只需关注综合后的总成绩即可。

将六科成绩简化为单一的排序依据，即实现了降维的目标，使得排序和区分变得更为简单。这种降维的过程不仅没有损失信息，反而通过算术平均的方式保留了原始数据的全部方差，即保留了数据的全部信息。

我们希望的不只是总方差不发生变化，更要求这些线性组合之间相互独立（即对角线元素和等于总方差且降序排列，非对角线元素尽可能接近零）。这样的线性组合才是我们追求的目标。

协方差矩阵是一个实对称矩阵。

由于实对称矩阵可以通过线性变换（即特征向量）转化为对角矩阵，其中对角线元素即为特征值。这些特征值和其对应的特征向量是解决协方差矩阵问题的关键。

寻找最大的特征值（其值应至少占原方差的80%）及其对应的特征向量，即找到了我们需要的线性变换。其中，最大的特征值对应的特征向量便是第一主成分。

虽然Excel也可以求解特征对，但效率较低。采用编程语言如Python，利用numpy库的np.linalg.eig(arr)函数可以更高效地求解出特征值和特征向量。

在PCA分析中，无论是使用协方差矩阵还是相关系数矩阵，其特征对的求解思路是相同的。只是协方差矩阵着重于数据之间的相关性，而相关系数矩阵则更加突出数据间的绝对关系。

通过观察特征值的大小，我们可以发现其中最大的两个特征值——3.389和1.390，它们的和占整体方差的79.65%，接近80%。这意味着前两个特征向量所构成的线性组合是我们需要关注的重点。

为了进一步验证结果的准确性，我们可以使用统计软件R进行复核。

第一个特征向量所对应的权重较为均衡且方向一致，这使我们能够理解其在总成绩中的意义。而第二个特征向量则有正有负，可以理解为反映了学生偏科情况的信息。

通过这两个线性变换对参数进行综合，不仅能够赋予其实际意义，还能使样本之间的区分更加直观明了。