罗尔定理例题

这是一道深入探讨罗尔中值定理的应用题目。对于初学罗尔中值定理的同学来说，可能对它的应用感到迷茫，但通过解答此题，将从正反两个方面，清晰展示罗尔中值定理的实际运用。让我们一同探讨题目内容。

请看以下两个函数的讨论，我们是否能在指定的区间内找到一个特定的点ξ，使得该点的导数f’(ξ)等于零。

（一）f(x)的表达式为：

当0<x<=1/π时，f(x)=xsin(1/x)；当x=0时，f(x)=0。

（二）f(x)的表达式为：f(x)=|x|，-1<=x<=1。

若您对此类问题感到困惑，不妨先回顾一下罗尔中值定理的内容。

罗尔中值定理的内容如下：若函数f满足以下三个条件：

1. f在闭区间[a，b]上连续；

2. f在开区间(a，b)内可导；

3. f(a)=f(b)，

则在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0。

对于上述两个函数，我们可以发现，它们各自对应的区间与罗尔中值定理中的区间有着密切的联系。接下来，我们需要验证这些函数是否满足罗尔中值定理的条件。

对于第一个函数，我们可以看到它在指定的闭区间上是连续的，且在开区间上是可导的。我们也容易验证它满足罗尔中值定理的条件3。我们可以断定在这个函数上存在一个点ξ，使得f’(ξ)=0。

而对于第二个函数，我们需要更加仔细地分析。虽然这个函数在大部分区间上是连续且可导的，但在某些点上可能存在不可导的情况。我们需要仔细分析这个函数是否满足罗尔中值定理的所有条件。

经过分析，我们可以得出结论：对于第一个函数，我们确实可以在指定的区间内找到一个点ξ，使得f’(ξ)=0。而对于第二个函数，由于它在某些点上不可导，所以我们不能确定是否存在这样的点ξ。

接下来，让我们进一步解题过程。

解：（一）对于f(x)在[0，1/π]上的应用，由于它在该区间上连续且可导，并且满足f(0)=f(1/π)=0的条件，根据罗尔中值定理，我们可以在(0，1/π)内找到一个点ξ，使得f’(ξ)=0。

（二）对于f(x)在[-1，1]上的应用，由于它在x=0处不可导，所以我们不能确定在(-1，1)内是否存在一个点ξ，使得f’(ξ)=0。进一步分析得知，该函数的导数在(-1，0)和(0，1)上分别恒为-1和1，因此在这个区间内确实不存在这样的点ξ。

如何？是不是觉得这道题目既有趣又富有挑战性呢？通过这样的题目，我们可以更好地理解和掌握罗尔中值定理的应用。