泊松分布期望

导语：

一、离散分布基础

1.1 伯努利试验与二项分布

当实验E只有两个结果A和Ā，其概率分别为p和1-p时，我们称E为伯努利试验。将E独立重复n次，则称为n重伯努利试验。以抛为例，抛3次，观察到2次正面向上的概率，可以通过二项分布来计算。

用X表示n重伯努利试验中A发生的次数，则随机变量X服从二项分布，记为X~b(n，p)。其分布律具有特定的形式。二项分布的期望和方差分别为E(X)=np和D(X)=np(1-p)。

1.2 R语言实例

在R语言中，二项分布相关的函数以p、d、r、q这四个字母开头，分别对应概率、分布、随机数、分位数的计算。例如，要模拟碱基突变的概率并绘制条形图，或生成服从b(100, 0.2)的随机数并添加正态分布拟合曲线，都是常见的R语言操作。

二、泊松分布

2.1 定义

泊松分布适合描述单位时间内随机事件发生的次数。比如服务设施在一定时间内的到达人数、车站的候客人数、机器的故障数等。泊松分布只有一个参数λ，记为X~π(λ)，其分布律有其特定的形式。

泊松分布的期望和方差都等于λ，即E(X)=D(X)=λ。当二项分布的n较大时，可以用泊松分布逼近二项分布，其中λ=np。

2.2 R语言示例

我们可以轻松地在R中生成服从泊松分布的随机数，并画出直方图。通过对比二项分布和泊松分布的图形，我们可以验证上述结论的正确性。

三、蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是一种通过产生大量随机数来获得问题近似解的数值计算方法。例如，通过在正方形内随机产生点，计算落在圆内的点的比例，可以近似得到圆周率π的值。这种方法在科研和工程中有着广泛的应用。

对于复杂事件如泊松分布中X≥7的概率计算，我们可以使用蒙特卡洛方法进行模拟，通过生成大量的样本计算概率。需要注意的是，蒙特卡洛方法的精度受随机数数量的影响，需要足够的样本才能得到精确的结果。

以上即为关于离散分布及其应用的学习笔记与R语言示例。通过学习和实践，我们能够更深入地理解这些分布的特性与应用场景。希望这些内容对大家有所帮助！