f-1(x)和f(x)的关系

§5.2 函数的一些重要性质

通过对比函数y=x²和函数y=x³的图像（图5.4)，我们可以观察到它们具有不同的特性。

函数y=x²的图像关于y轴对称，而函数y=x³的图像则关于原点对称。y=x²的图像在y轴的左边是下降的，右边是上升的，而y=x³的图像则是自左至右始终上升的。在x轴的上方，y=x²的图像从原点起在y轴的两侧同时向上无限伸展，而y=x³的图像则从原点起向左下方和右上方无限伸展。

接下来，我们来深入研究函数的这些性质。

1. 偶函数和奇函数

函数y=x²的图像关于y轴对称，这种特性的函数我们称为偶函数。如果对于所有x，都有f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶函数。对于函数y=x³，其图像关于原点对称，我们称之为奇函数。如果对于所有x，都有f(-x)=-f(x)，那么这个函数就是奇函数。

一般地，对于函数f(x)，如果x和-x都在函数的定义域内，并且满足上述的等式条件，那么就可以判断该函数的奇偶性。

例如，对于函数f(x)=x⁴+x²，因为f(-x)=f(x)，所以是偶函数；对于函数f(x)=x³+x，因为f(-x)=-f(x)，所以是奇函数；而对于函数f(x)=x+1，因为f(-x)≠±f(x)，所以它既不是奇函数也不是偶函数。

考察一个函数是偶函数、奇函数，或者既不是，我们称之为研究函数的奇偶性。对于奇函数或偶函数，只要了解其正值性质，就可以推知其负值性质。例如，要绘制函数y=x³的图像，因为它是奇函数，所以只需绘制出当自变量取正值时的图像，就可以利用奇函数的图像关于原点对称的特性，推导出自变量取负值时的图像。

接下来我们通过实例来证明一些关于奇偶性的定理。例如，两个偶函数的和是偶函数；两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数；两个奇函数的乘积是偶函数；偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

然后我们要判断一些常见函数是奇函数、偶函数还是既不是。例如，正弦函数y=sin x，正切函数y=tan x和余切函数y=cot x都是奇函数，而余弦函数y=cos x是偶函数。

上期内容回顾：......

下期预告：名师彻底讲透初等函数(25)函数的有界性。

2. 有界函数和函数

通过观察函数y=x²和y=-x²的图像，我们可以了解到有界函数和函数的特性。y=x²的图像总是在x轴的上方，意味着其值总不小于0，我们称之为有下界的函数。相反，y=-x²的图像总在x轴的下方，表示其值总不大于0，我们称之为有上界的函数。

......（后续内容根据提供文案继续编写）