高斯一晚上解决正十七边形

尺规作图是古希腊数学家们创造的一种几何绘图方法，他们使用一把无刻度的直尺和一个圆规，通过这两种简单的工具，创造出了无数美妙的几何图形。这种方法以其纯粹性和简洁性而独具魅力。

在高斯的时代之前，人们已经掌握了用尺规绘制特定正多边形的方法，比如正三角形、正方形、正五边形等。对于任意给定的边数，尤其是较大的边数，能否用尺规作图构造一个正多边形，这是一个长时间困扰数学界的问题。

直到1801年，高斯在《算术研究》中给出了震撼数学界的答案。他告诉我们，哪些正多边形可以通过尺规作图构造出来：当且仅当它的边数是2的某个非负整数次幂与若干个不同的费马素数的乘积。这里的费马素数是指特定形式的素数。

最初的几个费马素数包括：3、5、17、257和65537等。基于高斯的理论，我们可以详细解读这一结论：

1. 正多边形的边数可以是2的幂。这意味着我们可以构造正四边形（正方形）、正八边形、正十六边形等。

2. 边数也可以是费马素数。我们能构造正三边形（正三角形）、正五边形、正十七边形、正二百五十七边形和正六万五千五百三十七边形。

3. 边数还可以是2的幂和费马素数的乘积。这意味着我们可以构造的正多边形的边数可以是上述两种数目的组合，例如正六边形（2×3）、正十边形（2×5）等。

4. 理论上，边数也可以是不同费马素数的乘积，尽管这种情况较为罕见。

换句话说，一个正n边形可以用圆规和直尺绘制出来，当n是以下数值时：3，4，5，6，8，10，12，15，16等。对于一些特定的边数，如7、9、11等，我们无法用尺规作图构造出相应的正多边形。

高斯的这一理论不仅解决了一个古老的数学问题，还展示了数论与几何之间深刻的联系。虽然理论上我们可以构造出像正65537边形这样的多边形，但实际上这样的操作过程将是极其复杂和耗时的。

（附）高斯构建正十七边形的动画（图自百科），展示了这一理论的实践应用。通过高斯的理论，我们不仅了解了哪些正多边形可以用尺规作图构造出来，还深入理解了数学与几何之间的奇妙联系。