高中虚数i的运算公式

在复平面内，每一个复数都犹如一个独特的向量，从原点出发，独特地展现自己的存在。这样的表示方式启发我们，可以通过向量的性质来深入解析复数。

当我们以原点为极点，考虑复数的绝对值作为极径，结合其与x轴正方向的夹角，就能将复数以一种三角的形式表现出来。每一个复数都在复平面上呈现为一个向量，以其独特的长度和角度来展现其特性。

设想一个复数z=a+bi，它在复平面上的表示就像一个向量OZ。这个向量的模即为复数z的绝对值。这个向量与x轴正方向的夹角，我们称之为θ。根据解析几何的知识，我们知道a=|z|cosθ，b=|z|sinθ。复数z也可以被表达为一种三角形式。

在这个三角形式中，角θ被称为复数z的幅角。而在0和2π之间的幅角，我们称之为复数z的幅角主值，记作arg z。

复数的三角形式为我们提供了一个全新的视角来理解复数。例如，一个在x轴上的实数a，按照复数的三角形式可以表达为z1=a(cos0°+isin0°)=a。此时它的幅角主值为0。如果我们将其幅角主值变为90°，它就变成了z2=a(cos90°+isin90°)=ai，此时它是一个纯粹的虚数，沿着虚轴分布。

从代数的角度看，将复数z1乘以虚数单位“i”，就相当于将其对应的向量逆时针旋转90°变成z2对应的向量。这一切的变换，都是在直角坐标系的复平面上进行的。

这是一种极其有趣的体验。通过具有完整实部和虚部的复数，我们可以更深入地理解复数的本质。例如，一个复数乘以虚数单位，就相当于这个复数在复平面上对应的向量逆时针旋转90°。

当我们将复数表达为三角形式后，还可以进一步研究其乘法和除法运算。两复数相乘，在三角形式下，其实就是它们的绝对值相乘，然后幅角相加。那么对于n个复数的乘方，就是其模的n次乘积，幅角进行n次累加。

对于两个非零复数的除法，其实也很简单：模相除，幅角相减。