三棱锥的高怎么求公式

对于三棱锥P - ABC，已知PA垂直于底面ABC，并且棱长AB = 1、BP = 2、BC = 3、CP = 4。侧棱PC上有一动点Q，满足PQ/PC = λ（其中0 < λ < 1）。我们需要解决以下两个问题：

第一问：当三棱锥Q - ABC的体积为1/2时，求λ的值。

由于PA垂直于平面ABC，我们将底面ABC置于xy平面，设坐标为：A = (0, 0, 0)，B = (b_x, b_y, 0)，C = (c_x, c_y, 0)，P = (0, 0, h)，其中h是PA的高。根据已知条件，我们可以得到b_x^2 + b_y^2 = 1和h^2 = 3。P的坐标为(0, 0, sqrt(3))。接下来，通过计算向量叉积得到底面ABC的面积。然后，利用体积公式计算三棱锥P - ABC的体积。当三棱锥Q - ABC的体积为1/2时，通过设定体积等于1/2求解λ的值。经过验证，当λ = 1/3时，体积确实为1/2。

第二问：探究λ为何值时，三棱锥Q - ABC的外接球表面积最小，并求出此时的表面积。

通过深度思考，我们解决了三棱锥Q - ABC的体积和最小外接球表面积的问题。对于体积问题，我们设定体积等于1/2求解λ的值；对于最小外接球表面积问题，我们通过最小化半径的平方来求解λ的值和最小的表面积。这些问题需要深入思考和精确计算才能得出正确答案。关于函数 f(λ) 与几何形态的分析

给定函数 f(λ) = 3 (1 - λ)^2 + (1 - 5λ)^2/4 + (7 - 9λ)^2/12 - 13/3。在此基础上，我们设定 z = f(λ)/(2√3 (1 - λ)) 以及 r^2 = 13/3 + [f(λ)]^2/(12 (1 - λ)^2)。当 f(λ) = 0 时，z 和 r^2 分别达到可能的最低值。这意味着我们需要找到满足 f(λ) = 0 的 λ 值。经过计算，我们得到方程 36 (1 - λ)^2 + 3 (1 - 5λ)^2 + (7 - 9λ)^2 = 52。解此方程后得到 λ 的两个可能值：λ = 1 或 λ = 3/16。考虑到 λ 的取值范围在 (0,1)，所以排除 λ = 1 这一解，保留 λ = 3/16。由此我们可计算出半径 r 的平方，进一步得到表面积公式为 4πr^2 = 4π × 13/3 = 52π/3。我们可以得出结论：当 λ = 3/16 时，几何形态的表面积为 52π/3。