为什么要进行傅里叶变换
傅里叶变换是一种强大的数学工具，能将满足特定条件的函数分解为三角函数（正弦和/或余弦函数）或其积分的线性组合。它在不同的研究领域拥有多种变体，例如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。虽然最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析工具提出的，但其思想方法体现了典型的还原论和分析特征。任何函数，通过特定的分解过程，都可以转化为正弦函数的线性组合，这些正弦函数在物理上已被充分研究，其结构相对简单，这一理念与化学中的原子论相契合。
令人惊奇的是，现代数学发现傅里叶变换具有许多优良性质，使得它在各个领域的应用中表现出强大的实用性。傅里叶变换是线性算子，在适当的范数下，它还是酉算子。它的逆变换形式与正变换相似，容易求出。正弦基函数是微分运算的本征函数，这使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。
在线性时不变的物理系统内，频率是一个不变的性质。系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。著名的卷积定理指出：傅里叶变换能够简化复杂的卷积运算，将其转化为简单的乘积运算。对于离散形式的傅里叶变换，我们可以利用数字计算机快速计算，其算法被称为快速傅里叶变换算法（FFT）。
傅里叶变换在多个领域都有广泛的应用，如物理学、数论、组合数学、信号处理等。特别是在数字信号处理中，傅里叶变换被视为基本操作，用于表述及分析离散时域信号。虽然直接进行谱变换时，运算量与变换点数N的平方成正比，但在N较大时，运用传统的DFT算法并不切实际。幸运的是，快速傅里叶变换技术的出现改变了这一状况。本文主要探讨了采用FPGA实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。
N点的傅里叶变换有一对特定的公式。其中WN=exp(－2pi/N)，X(k)和x(n)都是复数。快速傅里叶变换有多种形式，如Cooley－Tukey算法等。对于2k傅里叶变换，可以通过多重低点数傅里叶变换来实现。本文采用的基本思想是Cooley－Tukey算法，即通过分解高点数的傅里叶变换为多重低点数傅里叶变换来完成。尽管存在不同的算法，如DIT和DIF等，但它们都是基于标号分解的算法，因此在运算量和算法复杂性上相似，没有性能上的优劣之分。本文主要讨论了以DIT方法为基础的FFT实现方式。
