概率方差D(X)公式

概率分布大致可分为离散型和连续型两种。在此，我们将对一些常见的分布及其推导过程进行科普性质的介绍。

一、离散型概率分布

1. 伯努利分布：

描述单次试验（如抛）的结果，其中成功的概率为p，失败的概率为1-p。期望E(X) = p，方差Var(X) = p(1-p)。例如，抛一枚公平的，正面朝上的期望和方差都是0.5。

2. 二项分布：

描述n次独立伯努利试验中成功的次数。期望E(X) = np，方差Var(X) = np(1-p)。例如，抛10次，出现3次正面的概率。

3. 泊松分布：

描述在固定时间或空间内发生稀有事件的次数（如每小时接到的电话数）。期望和方差都是λ。

二、连续型概率分布

1. 均匀分布：

在区间[a, b]内，概率密度是恒定的。期望E(X) = (a+b)/2，方差Var(X) = (b-a)²/12。

2. 正态分布：

自然现象中常见的“钟形曲线”，参数为均值μ和标准差σ。期望E(X) = μ，方差Var(X) = σ²。例如，某考试平均分为70分（σ=10），分数超过85分的概率。

3. 指数分布：

描述事件发生的等待时间（如灯泡寿命），具有无记忆性。期望E(X) = 1/λ，方差Var(X) = 1/λ²。例如，某灯泡平均寿命为5年（λ=0.2），使用1年后不坏的概率。

三、其他常见分布

1. 几何分布：

在伯努利试验中，首次成功所需的试验次数。期望E(X) = 1/p，方差Var(X) = 1-p/p²。例如，假设某游戏抽卡的成功率为p=0.1，求第三次才抽到SSR卡的概率。

2. 负二项分布：

在伯努利试验中，获得第r次成功时所需的试验次数。与二项分布不同，负二项分布固定成功次数r。期望E(X) = r/p，方差Var(X) = r(1-p)/p²。例如，抛直到第三次正面出现，求需要抛5次的概率。

3. 伽马分布：

描述多个独立指数事件的总等待时间（如设备故障）。当形状参数α = 1时，伽马分布退化为指数分布。期望E(X) = α/λ，方差Var(X) = α/λ²。例如，某设备平均每2个月故障一次（λ=0.5），求三次故障的总时间超过8个月的概率。

4. 卡方分布、t分布和F分布：

这些分布在统计推断中非常重要，如假设检验和方差分析。卡方分布是标准正态变量的平方和，t分布用于小样本未知总体方差的均值估计，F分布用于比较两个正态分布总体的方差。各自有独特的PDF公式、期望和方差，以及实际应用的计算案例。