二阶导不连续有三阶导吗

自然常数与欧拉公式的探索

欧拉恒等式被誉为上帝的公式。这一恒等式真乃数学天才之作，它将自然常数e、圆周率π、虚数单位i以及数字的起点1和表示虚无的0巧妙地结合在一起。

在数学领域，我们常将高斯、欧拉、黎曼等大神比作天才，且一直认为他们在数学上的成就源于天生的才华。甚至有人认为这些大神与普通人的差距如同人与狗之间的差距那般巨大。我曾对此深信不疑，现在我改变了自己的看法。我认为欧洲的数学家、科学家与哲学家在思考问题时可能过于深奥，而我们并不完全理解他们的思考过程。我们的教育缺乏这一环节的探索，这也是丘成栋先生认为我们的数学教育落后于欧美几十年的原因之一。

接下来，我将从e的性质以及欧拉公式的角度为大家进行简要分析。

欧拉恒等式是由欧拉公式推导得出的。当x取值为1时，即为欧拉恒等式。

自然常数e拥有一个令人惊叹的性质，那就是其指数函数的导数等于自身。不仅如此，二阶导数、三阶导数、四阶导数……都等于自身。

要理解导数的概念，我们可以将其想象为变化的速度或程度。例如，加速度是速度的变化率。求导的过程也可以比喻为撕书，求导一次就如同撕掉一页纸。而e^x则代表了一本拥有无数页的书，永远撕不完，且撕下一页后，书依旧保持完整无缺。

欧拉生活在泰勒提出其展开式的年代，他自然了解e的这一特性。而欧拉在三角函数的研究中取得了巨大成就，他首次使用了π、sin、cos、tg等符号。对于正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的互为导数的关系，欧拉了然于胸。经过深入思考，他必然联想到e与sin、cos之间存在某种联系，于是欧拉公式应运而生。

在前文中，我们已经对e的起源和性质做了简要介绍，那么它是如何进入熵、信息论、波函数的呢？

在《分层学说》的第四章中，我们讨论了白噪声。白噪声是针对如电磁波、光、声波等波动的现象。它是功率谱密度在足够大的频带内保持常数的波。太阳发出的光就是白光，一个天线产生的电波也是白噪声。

这种白噪声的性质是什么？它的幅度和过零点都是随机的，且无论怎样求导，其“白色”的性质都不会改变。就像太阳发出的白光一样，求导的过程只是均匀地减少光子数量，而不会改变光的本质。

除了波动现象，还有一些状态与白噪声相似。其中之一是理想气体的状态。气体分子之间互相碰撞，行为杂乱无章，可以看作是白噪声的状态。另一个例子是基本粒子的状态。虽然我对基本粒子所处的具体环境不太了解，但至少在行为上，它们的位置和速度都是随机的，与理想气体的状态非常相似。

理想气体的玻耳兹曼分布函数以及薛定谔的波函数在此处不一一展开，但可以这样说：理想气体的状态与白噪声相似，无论速度、动量、方向如何混乱，减少一层或拿走一部分都不会影响整体状态。这种性质与e的性质是相同的——求导数等于自身。我们可以称这种状态为e状态。

相信薛定谔对熵的研究非常深入。在那个时代，他与爱因斯坦、波尔、普朗克等人并肩，他的研究可能是最深入的。他提出了生命是负熵的理论。由此可以推测，他猜到了基本粒子的状态与理想气体相似。既然理想气体中存在e，那么量子力学中的粒子状态是否也是如此？至少在状态上是可以等效的，必然有e的存在。e与正余弦相关联，具有驻波性，可以视为不连续的。如果能够将e引入到量子力学中，那么我们就可以解释电子等基本粒子的能级量子化问题了。

波函数是基于理想气体的玻耳兹曼分布函数而得出的。而玻耳兹曼分布函数描述了气体分子的杂乱无章的行为，也可以称为e行为。有了e的存在，就与波动产生了联系，从而产生了驻波性，进而出现了能级和一份一份的能量。

薛定谔方程与实验