U与∩在集合中的含义

在先导篇《“群”众》中，我们熟悉了许多具体的群。在这些群中，线性群GL(V)（或GLₙ(F)）是比较特殊的一类。为什么呢？

考虑正有理数乘法群 (ℚ⁺, ·)，可以选取GL₂(ℝ)来描述它。对于任意的a ∈ (ℚ⁺, ·)，都存在与之一一对应的单射ρ:(ℚ⁺, ·) → GL₂(ℝ)。ρ是一个群同态，说明(ℚ⁺, ·)可以嵌入GL₂(ℝ)中。

再考虑整数加法群 (ℤ, +)，同样可以选取GL₂(ℝ)，并指定q ∈ ℝ（q ≠ 0）。对于任意的a ∈ (ℤ, +)，也存在与之一一对应的单射ρ:(ℤ, +) → GL₂(ℝ)。ρ是一个群同态，说明(ℤ, +)可以嵌入GL₂(ℝ)中。

对于二面体群Dₙ，我们可以定义其元素为逆时针旋转2π/n和水平翻转。在此基础上，我们可以得到Dₙ = 〈a, b | aⁿ = b² = (ab)² = 1〉。选择GL₂(ℝ)，通过旋转变换和翻转变换，我们可以得到Dₙ到GL₂(ℝ)的单射ρ，并且这是一个群同态，说明Dₙ可以嵌入GL₂(ℝ)中。

类似的，对于对称群Sₙ，我们可以选择GLₙ(ℝ)来描述它。对于Sₙ中的任意置换，都存在与之一一对应的单射ρ:Sₙ → GLₙ(ℝ)。这也是一个群同态，说明Sₙ可以嵌入在GLₙ(ℝ)中。进而，交错群Aₙ作为Sₙ的子群，也可以嵌入在GLₙ(ℝ)中。

以上例子说明，一般线性群是一个“大”群，它可以包含其他群作为其子群或表示。实际上，对于任意群G，我们总能找到一个F上的线性空间V，并构造一个单群同态ρ:G → GL(V)，使得G是GL(V)的嵌入。

我们知道，对于任意非空集合H都可以以其元素为基，构造一个F线性空间FH。在这个线性空间中，我们可以定义加法和数乘等运算。对于任意G可选择V为FG，这样就得到了一个单同态ρreg:G → GL(FG)，使得G是GL(FG)的嵌入。

受此启发，对于任意群G和F-线性空间V，我们称群同态ρ:G → GL(V)为G的一个F-表示，记为(V, ρ)。上面的ρreg被称为正则表示。如果ρ是单同态，则称ρ是忠实的，前面的所有例子都是忠实表示。

相对于群，我们更熟悉线性空间。群的表示使我们能够借助线性空间来研究群，这就是群表示论。复杂的群表示可以分解为相对简单的群表示的直和。

在V给定一组基后，可逆线性变换和n阶可逆方阵一一对应。若记GLₙ(F)为元素是F的n阶可逆方阵的全体关于矩阵乘法组成的群，则ρ:G → GLₙ(F)称为矩阵表示。

对于V的子空间U和W，我们可以定义和、直和等运算。若U是f的不动子空间，则必然存在另一个f的不动子空间W，使得V = U ⊕ W。不可约表示是不能进行直和分解的，而如果一个表示可以分解为不可约越表示的直和，则称其为完全可约的。

群表示的定义看起来很陌生，但其实它与模的概念密切相关。模是环R和Abel群M之间具有满足分配律的乘法的数学结构。我们还要求模乘法具有结合律。这样一来，模乘法就是R在M上的作用。通过对环同态进行科里化，我们可以得到群同态和模同态等概念。

设M和N都是R模，我们知道群同态f:M→N如果满足f(ax)=af(【注解】

在数学领域中，G的元素个数被称为G的阶，通常表示为|G|。特指数(charF)是指：一个变量在经过不断的自加操作后，达到0之前所需要1的最小数量。当这一操作永不会产生结果为0时，则令charF=0。

除了判断单个群表示的可约性之外，判断两个群表示是否等价也是重要的研究目标。这一目标的实现可以通过特征标来实现。

方阵A的对角线元素之和被称作A的迹，记作tr(A)。可以证明，对于任意两个方阵AB和BA，它们的迹是相等的。

在向量空间V上，线性变换f以及其基于基B={e₁, e₂, ..., eₙ}的对应方阵fʙ存在。对于任意另一个基B'={e'₁, e'₂, ..., e'ₙ}，必定存在一个过渡矩阵P，满足Pfʙ'等于fʙP。因为P是可逆的，因此fʙ'和fʙ之间的关系为fʙ' = P⁻¹fʙP。经过一系列的数学推导我们可以得出，无论基如何选取，对应方阵的迹是相同的，我们称这个相同的迹为f的迹，记作tr(f) = tr(fʙ)。

对于群G的F-表示(V, ρ)，其特征标χρ(g)被定义为tr(ρ(g))。

当我们考虑G的两个F-表示(V, ρ)和(W, μ)，如果存在一个F-模同态f: V → W，同时它还是G-模同态，即满足f ∘ ρ(g) = μ(g) ∘ f的条件，则我们称f为表示同态或G-模映射。若f是模同构，则认为两个表示是等价的。在等价的情况下，因为f是可逆的，所以有ρ(g) = f⁻¹μ(g)f。进一步推导得出tr(ρ(g)) = tr(μ(g))，即特征标在等价的群表示中是相同的。

我们还可以得出结论：当特指数charF为0时，特征标相同的群表示是等价的。