方向向量与法向量的关系

在理解并计算了直线的斜率之后，我们就可以根据斜率的定义，推导出直线的方程了。

通过两个点的坐标，我们可以计算出斜率。

现在假设直线意一点的坐标为（x，y），已知的另一点坐标为（x0，y0）。这两个点符合斜率的定义关系，那么我们可以得出：

这就是点斜式方程，它表明只要知道直线上一个点和它的斜率，就可以直接写出方程。

稍加调整上述公式，我们就可以得到斜截式方程。

当x等于0时，直线会与y轴相交，此时我们称交点的纵坐标为直线在y轴上的截距b。

简化后，我们可以得到一个更为直观的形式：

这就是斜截式方程，知道了直线的斜率和在y轴上的截距，就可以直接写出这个方程。

若直线的截距在x轴上为a，y轴上为b，则可轻易写出截距式方程。

这个方程的推导过程是如何的呢？请看图理解：

现在这条直线的斜率k是否等于-b/a？

关于k值为何有负号的问题，是因为当直线向上时，a值为负数，但为了确保k值为正数，我们需要进行相应的调整。

接下来我们可以得出斜截式方程。

可以看到，稍作整理后就能得到截距式方程。

如果我们愿意直接写出斜率的原始计算方式，也可以将点斜式方程转化为两点式方程。

这就是两点式方程，表明知道直线意两点的坐标后，就可以直接写出这个方程。

需要注意的是，上述直线方程均建立在存在斜率的前提下。若直线垂直于x轴于m点且不存在斜率，其方程可简化为：

接下来我们将介绍常用的一般式直线方程。

以点斜式方程为例，我们可以看到方程中x、y前的系数均为常数，我们也将其简化为A、B、C进行代替。

起初部分学生可能会对这种一般式感到不习惯，认为不够直观。若需明确直线的斜率和y轴截距，可将其转换为斜截式方程以更清晰地呈现。

掌握了直线的方程后，我们再进一步探讨直线的方向向量。

在数学中，"向上"或"向下"仅是描述直线倾斜趋势的形象说法。真正的数学表达依赖于直线的"方向向量"。

方向向量是与直线平行或共线的非零向量。换句话说，只要找到与直线平行的向量即可视为其方向向量。

例如，若直线的斜率为k，则向量（1，k）所表示的直线与目标直线平行，故此向量可以视为该直线的一个方向向量。同理，反方向的（-1，-k）也为此直线的方向向量。更通用的表示方法是λ（1，k），其中λ为任意实数。

若想通过更具体的方式表示直线的方向向量，我们可以在直线取两点M（x1，y1）、N（x2，y2），由这两点的坐标可推导出向量MN。

由于向量MN与（1，k）共线，故（1,k）也是该直线的方向向量之一。

按照定义，反方向的向量NM同样也是此直线的方向向量。

例如，（1,1）和（3,3），或（-1,-1）、（-3,-3）均表示直线y=x+b的方向向量。

利用方向向量描述直线的方向在进行两直线平行或垂直问题的处理时十分方便。因为相比简单的文字描述，"向上"、"向下"等说法缺乏具体数值进行代数运算。而方向向量有具体的数值表示可以参与运算。