secx的平方的图像 正割图像

导言
正切函数 (tanx) 的导数等于正割函数的平方 (sec²x)。本指南将分步说明如何导出这个导数，同时展示两种不同的方法：导数的定义和商的求导公式。
方法 1：导数的定义
导数的定义公式为 f'(x) = lim_h->0((f(x + h) - f(x))/h)。应用这个公式，tanx 的导数可以表示为：
(tanx)' = lim_h->0((tan(x + h) - tanx)/h)
进一步化简，得到：
(tanx)' = lim_h->0(((sin(x + h)/cos(x + h)) - (sinx/cosx))/h)
= lim_h->0(((sin(x + h)cos(x) - sin(x)cos(x + h))/(cos(x + h)cos(x)))/h)
= lim_h->0(((sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) - sin(x)cos(x) - sin(x)tan(x)cos(x))/(cos(x + h)cos(x)))/h)
= lim_h->0(((cos(x)sin(x) - sin(x)tan(x)cos(x))/(cos(x + h)cos(x)))/h)
应用极限公式 lim_h->0(sin(x)/h) = cos(x)，可得：
(tanx)' = lim_h->0(((cos(x) - sin(x)tan(x))/(cos(x + h)))/h)
= lim_h->0((cos(x) - sin(x)tan(x))/h) lim_h->0(1/cos(x + h))
因为 lim_h->0(1/cos(x + h)) = 1，所以 داریم：
(tanx)' = (cos(x) - sin(x)tan(x)) 1
= cos(x) - sin(x)tan(x)
= cos(x) - sin(x) (sin(x)/cos(x))
= cos(x) - (sin²x/cos(x))
利用三角恒等式 sin²x + cos²x = 1，化简得：
(tanx)' = (cos²x - sin²x)/cos(x)
= (1 - sin²x)/cos(x)
= (1 - (sin(x)/cos(x))²)/cos(x)
= (1 - tan²x)/cos(x)
利用正割函数的定义 (secx = 1/cosx)，得到：
(tanx)' = (1 - tan²x)/secx
= (1 - (1/sec²x))/secx
= 1/sec²x
= sec²x
方法 2：商的求导公式
商的求导公式指出，如果函数 u(x) 和 v(x) 都可导，且 v(x) 不等于 0，那么 (u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/(v(x))²。
正切函数 tanx 可以表示为 sinx/cosx，符合商的概念。应用商的求导公式，得到：
(tanx)' = ((cosa)sinx - (sinx)(-cosx))/(cosx)²
= (cos²x + sin²x)/(cosx)²
= 1/(cosx)²
= sec²x
结论
使用导数的定义或商的求导公式，我们都得到了 tanx 的导数等于 sec²x。这两种方法都提供了有价值的洞察力和不同的求解途径，有助于加深对导数及其应用的理解。