几何概型的概率公式 几何概型的概率公式高中

几何概型是一种应用于概率模型的工具。当样本空间的区域具有相同的度量（如长度、面积或体积），并且每个子区域内的点落在内的概率是均等的，我们可以通过如下公式来定义事件A的概率：

其中S代表样本空间的度量，而SA是构成事件A的子区域的度量。

1．几何概型的常见应用

（1）考虑一条线段l作为线段L的一部分。当从线段L上随机投点时，若点落在线段l上的概率与线段l的长度成正比，而与点在线段l上的具体位置无关，则点落在线段l上的概率可以表示为：

P = l的长度 / L的长度

（2）假设有一个平面区域g，它是平面区域G的一个子集。当从区域G上随机投点时，若点落在区域g上的概率与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G中的位置无关，则点落在区域g上的概率为：

P = g的面积 / G的面积

（3）设有一个空间区域v，它是空间区域V的一部分。当从区域V中随机投点时，若点落在区域v上的概率与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V中的具体位置无关，则点落在区域v上的概率为：

P = v的体积 / V的体积

2. 典型问题解析

例1. 假设两个人在7点到8点之间在某地相遇，先到者等待20分钟，超过此时间可离开。求这两人能会面的概率。

解：设x和y分别表示两人到达的时刻（以分钟为单位），其中0≤x≤60，0≤y≤60。为了两人能会面，必须满足｜x - y｜≤20。这个问题属于几何概型中的“会面问题”，其结果的全体为一个边长为60分钟的正方形，而会面的区域为图1中的阴影部分。

所以所求的概率为：

例2. 随机将一根长度为L的木棒折成三段，求这三段能组成三角形的概率。

解：设事件A表示“这三段能组成三角形”，设x和y分别为其中两段的长度，则第三段长度为L-x-y。所有可能的结果构成集合I：

要使这三段构成三角形，任意两段的长度之和必须大于第三段的长度， 即：

因此所求的结果构成集合为：

由图2可得，所求概率为：

点评：解决这类问题的关键在于将已知条件转化为平面图形中的几何概型问题，体现了转化的数学思想。

例3. 从0到1之间随机取两个正数x和y，求x与y之和不超过1，且积不小于0.09的概率。

解：在0

因此：

例4. 给定函数

（1）判断函数f(x)的单调性；

（2）分析：此题结合了微积分、函数和概率的知识，利用定积分计算曲线围成的平面图形面积，再应用几何概型的概率公式求解。这主要考查了学生根据所学知识解决综合问题的能力。

解：（1）略。

（2）

若-1≤a≤1，-1≤b≤1，

如图所示：

条件（※）的面积为：

而条件-1≤a≤1，-1≤b≤1的面积为S=4，根据几何概型的概率公式可知：

点评：本题第二问涉及函数方程与概率相结合的典型几何概型问题，这是近年来高考中的新趋势，值得大家关注。

3. 思维

（1）几何概率是考纲上的基本内容，也是一种常见的考察题型；

（2）几何概率题目难度适中，但需要准确理解题意并通过图形分析来解决；

（3）掌握几何概率对解决后续的均匀分布问题非常有帮助；

（4）关于几何概型：

虽然我们在此主要讨论平面上的情况，但类似的方法也适用于直线或空间，只需将“面积”相应地替换为“长度”或“体积”；

几何概型不仅限于平面点投射的实验，如果一个随机试验的所有基本结果都可以用平面（或直线、空间）中的点表示，并且所有基本结果组成一个区域Ω，那么相关问题就可以用几何概型来解决。

4. 练习

假设有两个对讲机持有者莉莉和霍伊，他们的对讲机接收范围为25公里。下午3点时，莉莉在距离基地30公里的某地向基地行驶，而霍伊在距离基地40公里的某地向基地行驶。求他们在下午3点能够通过对讲机通讯的概率。