微分方程特解 微分方程特解形式表

线性定常微分方程的求解涉及到多种方法，其中经典方法和拉式变换法是最常用的两种。经典方法在处理二阶及以下的系统时相对简便，但当面对更高阶的微分方程时，其复杂度显著增加。相比之下，拉式变换法对于高阶微分方程的求解更为高效和便捷。

例如，对于一个二阶系统，其中电感L=1H，电容C=1F，电阻R=1Ω，电容的初始电压Uo(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压Ui(t)=1V。我们需要计算电路在电源突然接通时电容电压Uo(t)。

此类RLC无源电路的二阶微分方程为：

我们使用拉式变换法来求解。在进行拉式变换时，令Ui(s)=L[Ui(t)]，Uo(s)=L[Uo(t)]，根据拉式变换的微分性质：

电压Uo(t)的导数在t=0时的值为：

从而可以得到二阶微分方程的拉式变换公式：

通过对分母多项式进行极点求解，可以得到Uo(s)的具体形式。当电路突然接通电源时，Ui(t)可被视为阶跃输入信号，Ui(t)=1(t)，因此Ui(s)=1/s。我们需要对Uo(s)进行拉式反变换：

其中第一项的拉式反变换表示由网络输入电压引起的输出分量，此部分与初始条件无关，被称为零状态响应；

第二项的拉式反变换代表由初始条件产生的输出分量，此部分与输入电压无关，被称为零输入响应；

当存在非零初始条件时，单位阶跃响应输出Uo(t)是零状态响应和零输入响应的叠加。

若输入电压为单位脉冲δ(t)，Ui(s)=L[δ(t)]=1，网络的单位脉冲响应则由如下公式给出：

零输入响应保持不变，而零状态响应公式则变为：

最终的单位脉冲响应输出为：

利用拉式变换法解决线性定常微分方程的步骤包括：

1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项进行拉式变换，将其转换为变量s的代数方程；

2. 从代数方程中求出输出量的拉式变换函数表达式；

3. 对输出量的拉式变换函数进行反变换，得到时域表达式，即为微分方程的解。

线性微分方程解的运动模态由特解和齐次微分方程的通解构成。通解的形式由特征根决定，被称为瞬态分量，表示解随时间的变化过程，也称为自由运动。特征根的类型和重根数对运动模态产生不同影响。单重实数根对应的运动模态为指数衰减的瞬态分量；单重复数共轭根则表现为指数衰减的震荡瞬态分量；多重根的运动模态不仅按指数规律衰减，还与时间的乘积有关。

对于一般的微分方程，拉式变换反变换的求解步骤总结为：

令拉式代数方程的特征根为：

则求解拉式反变换为：

工程中，通常定义β=180-θ，则上述公式也可以表示为：

图示展示了阶跃响应的两种运动模态。曲线①表示震荡衰减的输出响应曲线，曲线②表示指数衰减的输出响应曲线。绿色坐标轴代表输出响应坐标，黑色坐标轴代表运动模态坐标；输出响应曲线为特解与通解的总和。