两点之间线段短 两点之间线段短吗

四边形的最值问题是三角形最值问题的自然扩展，涉及到的核心知识点主要有五个：线段最短问题、垂线段最短问题、三角形三边关系、几何变化（包括轴对称、旋转、平移）以及轨迹圆的最值问题（如定角、定线、隐含圆模型）。以下通过具体实例详细说明：

模型一：将军饮马模型

1. （2019•永安市一模）如图所示，矩形的一个顶点在原点，另一个顶点在坐标轴上，且点（6，4）为两点之间的中点。假设点A和点B为矩形边上的两个动点，且AB = 2。为了使得四边形的周长最小，点A的坐标应为（ ）

A．（2，0）B．（8/3,0）C．（4，0）D．(14/3,0)

【解析】为求得四边形的最小周长，我们需要使得A和B之间的距离最小。由于AB是定值，只需最小化A点的坐标即可。具体操作是：在直线上截取线段AB = 2，构造点A关于点O的对称点，连接两点，交于一点即为点A。进一步过该点作平行线，交于一点即为点B，点B的位置在平行线的延长线中。

由条件AB = 6，BC = 2 + 4 = 6，∠ABC = 90°，所以∠AOB = 45°，∠OBC = 45°。设点A坐标为x，则A点与B点的关系可以表示为：x - (x - 2) = 6 - 2 = 4 - x。由此得出A点的坐标应为（2，0）。答案为A。

2. （2019•武昌区模拟）如图所示，已知正方形的一个顶点坐标为（0，3），点P为坐标轴上的一个动点，以点P为边的一侧构造等腰直角三角形，且∠P = 90°。求得边长的最小值（ ）

A．3√2/2 B．√2 C．2√2 D．3√2

【解析】本题主要考察旋转变换、正方形性质、全等三角形的判定等知识。解题时应添加常用的辅助线并构造全等三角形。画出点P的旋转对称图形，以获取最小值。由于∠P为直角，利用等腰直角三角形的性质，我们可以计算出边长最小值为3√2/2。选择A。

类型二：旋转模式

4. （2017秋•昌江区校级期末）如图所示，若正方形的外一点P满足条件PA = √2，PB = 4，当线段的长度取最长值时，∠AOB的值为 _____。

【解析】本题涉及旋转性质、正方形性质和三角形三边关系。旋转图形得到的最大值即为线段的最大值。旋转90°得到图形P'，最大值取决于三角形的共线性。∠AOB的最大值为135°。

5. （2018秋•江岸区期末）如图所示，若点P为线段的中点，点Q为直线上方的点，且PQ = 4，连接点Q，假设Q为顶点，构造等腰直角三角形，求∠Q的最大值。

【解析】本题考察旋转变换和等腰直角三角形的性质。将线段绕点逆时针旋转90°得到的新线段，角度的最大值为67.5°。通过图形辅助线计算得到的角度为45°。答案为67.5°。

模型三：构造轨迹辅助圆模式

6. （2019•全椒县一模）如图所示，点A和点B为正方形边上的两点（不与其他点重合），过点B作垂线于点A，连接AB，若AB = 2，则AB + CD的最小值为（ ）

7. （2018秋•武昌区期中）如图所示，在三角形中，AB = 3，BC = 4，以AB为边构造等边三角形，求得当∠ABC = _____ 度时，有最大值 ______。

【解析】在三角形AB中，构造等边三角形时，连接线段，可以得到点B的运动轨迹是以点O为圆心，半径为3的圆。最大值出现在点A、B、C共线时。此时∠ABC = 120°，最大值为7。

解决将军饮马模型的最值问题时，需要利用轴对称进行等量转换，并根据“两点之间线段最短”、 “点到直线的距离最短”以及三角形的边关系等进行最小值的求解。在解题过程中，应特别注意常用方法，如确定定点和使用旋转、对称变换等技术，以求得问题的最终解决方案。