正弦余弦公式 正弦定理和余弦定理的证明

暑假的脚步渐行渐远，新的学期即将拉开帷幕。尤其是对即将升入高三的学生而言，这个阶段显得格外重要。很多高中在九月尚未到来之际，便已提前开学，致力于为2018年高考做好全方位的准备。

高考被认为是一场决定人生走向的重要考试，很多学生通过这一机会实现了自己的梦想。也有一些考生因各种原因未能发挥出色，错失理想院校，人生轨迹因此发生改变。

为此，接下来将推出一些关于高考数学的知识点、方法技巧及数学思想的运用，旨在帮助考生们顺利迈向高考之路，成就心中梦想。

今天将重点讨论两角和与差的正弦、余弦和正切公式。理解这些公式对于掌握三角函数至关重要。

什么是两角和与差的公式？以下几个公式是大家必须牢记的：

1. cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

2. cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；

3. sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

4. sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；

5. tan(α＋β)＝（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）；

6. tan(α－β)＝（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）。

对于这些公式，单纯的记忆是不够的，深入理解同样重要。例如，正弦公式的特点在于“正余，余正符号同”，这意味着在角度和的情况下，公式中间为“＋”；在角度差的情况下，则为“－”。而余弦公式则遵循“余余，正正符号异”的原则。

接下来，分析一个典型例题：

需要特别注意的是，涉及两个已知角时，通常要将所求角表示为已知角的和或差的形式；而当已知角只有一个时，则应关注所求角与已知角之间的关系，并应用诱导公式将所求角转化为已知角。

二倍角的正弦、余弦和正切公式也非常重要。这些公式是由两角和公式通过令β＝α得出的，特别是余弦公式：cos2α＝cos²α－sin²α＝2cos²α－1＝1－2sin²α。每一个公式都有其独特的用处，尤其是在考试中常见的“降幂公式”中。

以下是二倍角公式，务必牢记：

1. sin2α＝2sinαcosα；

2. cos2α＝cos²α－sin²α＝2cos²α－1＝1－2sin²α；

3. tan2α＝2tanα/（1-tan²α）。

一些常用公式的变形也十分重要：

(1) tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；

(2) cos2α＝（1+cos2α）/2，sin2α＝（1-cos2α）/2；

(3) 1＋sin²α＝(sinα＋cosα)²，1－sin²α＝(sinα－cosα)²。

运用两角和与差的三角函数公式时，除了要熟练掌握公式本身，还需懂得公式的逆用和变形。例如，tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和多种形式的二倍角余弦公式。

两角和与差的三角函数公式可视为诱导公式的推广，能够用α、β的三角函数表示α±β的三角函数。在使用这些公式时，尤其要注意角与角之间的关系，做到统一角和角的转化。

再来看一个典型例题：

若要学好两角和与差的正弦、余弦和正切公式，必须重视“三变”。“三变”包括“变角、变名、变式”。具体而言：

变角是指将角分拆成已知角、同角或特殊角；

变名是尽量减少函数名称；

变式则要求在变形时尽可能进行有理化、整式化和降次处理。

在解决求值、化简或证明问题时，需关注角度、函数名称以及所求问题的整体形式，选择合适的三角公式进行恒等变形。

这一过程不仅有助于提高解题能力，更为即将到来的高考做好充分准备。