双曲线的焦距 双曲线焦点焦距

一、知识点二、解题策略

在求解双曲线的标准方程时，关键是确定其实半轴长（a）和虚半轴长（b）。通常有两种常见的方法来求解：

直接利用条件求解a与b的值；

基于题目设定假设标准方程，并通过建立方程组求解a与b。

1. 直接法

直接法的思路是通过题目中给出的条件以及双曲线与相关圆锥曲线的几何性质，直接求解a与b的数值，而不是先设立标准方程。解题过程中，必须首先确定双曲线的焦点是否位于x轴或y轴上。

例题 1：

已知双曲线的离心率为2，焦点坐标为（-4，0）和（4，0），求该双曲线的方程。

分析：根据焦点的位置，可以推算出半焦距c的值，再结合离心率的定义，得到实半轴长a与半焦距c之间的关系。

解析：根据题意，双曲线的焦点位于x轴上，且半焦距c = 4。又因为离心率为2，利用离心率的公式

e=

，可以得到实半轴长a = 2。

双曲线的标准方程为：

=1。

结论：选项A为正确答案。

解这类题目时，首先要明确焦点的位置，这决定了方程的具体形式，进而帮助我们找到正确的方程类型。

2. 定义法

定义法主要用于求动点轨迹的方程。当题目涉及到动点时，解题的首要步骤是判断该动点的轨迹是否为双曲线。然后，根据题中给出的其他条件，确定a和b的数值，进而得到双曲线的标准方程。

例题 2：

已知一个动圆M与两个圆C1和C2外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

分析：根据外切条件，两个圆之间的距离可以得到一定的几何关系。由此可以确定动圆圆心M的轨迹为双曲线的一支。接下来，我们通过这些几何条件来求解实半轴a和虚半轴b。

解析：设动圆M的半径为r。根据外切条件，得到动圆的圆心与C1、C2之间的距离等于圆的半径r。动圆圆心M的轨迹是以C1和C2为焦点的双曲线，实轴长为1，虚轴长为某一值。通过计算，得出双曲线的具体方程。

结论：动圆圆心M的轨迹方程为某个特定的双曲线方程。

本题利用了平面几何的基本性质，巧妙地将几何关系转化为解析几何中的标准方程，展现了几何知识在解析几何问题中的简化作用。

3. 待定系数法

待定系数法的思路是设立双曲线方程，依照题目中的已知条件，建立方程或方程组来求解所需的参数。巧妙地与双曲线的标准方程特点相结合，可以简化解题过程。

例题 3：

求一个中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线方程，且已知其经过点P（x1, y1）和Q（x2, y2）。

分析：这类问题中，我们可以通过设定双曲线的标准方程来求解，然而如果不直接设定标准方程，而是利用待定系数法来推导，会更加简便。

解析：假设双曲线的方程为

=1，然后根据已知点P和Q代入方程，解得a和b的具体数值。

结论：通过计算，得到双曲线的标准方程。

对于已知经过两个点的双曲线，可以通过设定标准方程并代入点坐标来求解。这种方法特别适用于焦点不明确或其他条件复杂的情况。

通过这三种方法，我们能够解决不同类型的双曲线方程求解问题。掌握这些方法，能够有效提高解题的灵活性和效率。