矩阵的特征值怎么算 一个矩阵的特征值怎么算

今天我们来探索机器学习领域中的一个核心概念——矩阵的特征值与特征向量。[1]

先让我们明确一下其定义。假设我们有一个n阶的矩阵A以及一个实数lambda，如果存在一个非零向量x，满足以下条件：

当上述条件成立时，我们称lambda为矩阵A的特征值，而非零向量x为矩阵A的特征向量。[2]

单纯从上面的定义中，我们可能无法直观地理解其含义。如果我们结合矩阵变换的几何意义，就会更容易理解。

对于n维向量x，当我们用n阶方阵A乘以它，得到的结果Ax，从几何的角度来看，就是对向量x进行了一个线性变换。这个变换后得到的向量y与原向量x的方向和长度都发生了变化。

对于特定的矩阵A，总存在一些特定方向的向量x，这些向量在经过Ax变换后，其方向与原方向保持一致，仅长度发生变化。我们将这个长度变化的比例系数称为lambda。这样的向量我们称之为矩阵A的特征向量，而lambda则是这个特征向量对应的特征值。

对原始等式进行简单的变形，我们可以得到：

这里的I表示单位矩阵。展开后，我们可以得到一个n元齐次线性方程组。对于这个方程组，若要存在非零解，其系数行列式必须不为零，即系数矩阵的秩小于n。

将行列式展开后，我们得到一个以lambda为未知数的一元n次方程组。这个方程组在复数集内共有n个解。观察上述等式，我们可以发现lambda只出现在正对角线上，因此矩阵A的特征值就是该方程组的解。由于n次方程组在复数集内有n个解，所以n阶矩阵A在复数集内有n个特征值。

为了更好地理解这一概念，我们通过一个实例来演示：

设:

则:

通过代入求根公式，我们可以得到使得f(lambda) = 0的根，即特征值。

这一结论可以推广到所有的阶数n。也就是说，对于任何一个n阶方阵A，我们都可以得到其特征值和特征向量的相关信息。

接下来，让我们看看如何在实践中运用这一概念。在之前的文章中，我们介绍了Python在计算科学中的强大能力，特别是在求解特征值和特征矩阵方面。通过使用numpy库中的函数，我们可以轻松地一行代码完成特征值和特征向量的计算。

下面我们来看一个代码示例：

np.linalg.eig方法返回两个值，第一个是特征值，第二个是特征向量。让我们看看计算结果：

为什么特征向量是0.707呢？这是因为Python自动为我们进行了单位化处理，返回的向量都是单位向量。

降维算法中广泛使用了矩阵的特征值和特征向量。对于算法工程师来说，理解它们的概念和几何意义比具体如何计算更为重要。因为这两者在机器学习的领域中有着广泛的应用。

关于降维算法的具体原理，这里不再赘述，我们将在后续的文章中更新相关内容。感兴趣的读者可以期待一下。

文章到这里就告一段落了，这也是线性代数专题的最后一篇。虽然这六篇文章未能涵盖线性代数这门学科的所有知识点，但它们确实涉及了实际应用中常用的内容。

[1] 《线性代数》（第五版）: 上海交通大学出版社。